Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 11.3. Импульсная реакция оптимального фильтра
Условие оптимальности фильтра обнаружения можно найти и несколько другим путем. Если представить выходной сигнал как сумму полезного сигнала и шума, т.е. y(?) = i/c(?) + J/m(?), причем
+00 -wo
yc(?)= fs(a)h(?-a)da; г/ш (?) = fn(a)/i(?-a)da,
—со -00
то можно заметить, что сигнал i/c(?) является функцией взаимной корреляции ей Л, которая будет максимальной (т.е. и отношение сигнал/ шум будет максимальным) при идентичности s и h, при h(a) = s(-a).
Найдем передаточную функцию оптимального фильтра. Для этого преобразуем по Фурье выражение (11.5). С учетом теоремы запаздывания (см. § 2.1) получим
309 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Н(,/'юа) = |/i(a)exp(-/coaa)da = A0 Js(a0-a)exp(-/co0a)da =
-=° ^ -=° (11.6) = A0S" (і юа )ехр(- jaaa0),
где S*{jaa) — функция, комплексно-сопряженная спектру входного сигнала s(a); юа — частота; a — параметр, по которому ведется анализ (угол, время и т.д.).
Из (11.6) следует, что при условии равенства модулей |S*(/4)I = ISO'raJ имеем
I^(K)I = A»|S(/®a)|. (11.7)
т.е. амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра при сделанных выше допущениях с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром входного сигнала.
Такой оптимальный фильтр называется согласованным, поскольку его частотная характеристика целиком определяется спектром сигнала, т.е. должна быть согласована с ним. В данном случае принималось, что спектр помехи равномерен в диапазоне частот, занимаемом спектром сигнала.
Найдем выражение для сигнала на выходе оптимального фильтра. Применяя обратное преобразование Фурье к спектру сигнала на выходе фильтра:
1 w
Ус (a) = Jk \S(jaa)H(jaa)exp(jaaa)daa
-Xl
и подставляя в полученное уравнение (11.6), получаем
Ус(а) = ^ JS(;coa)S*(/coo)exp[jcoa(a-a0)]dcoa.
-оо
Учитывая, что S(j(oJ-S*(j(oa) = |S(y©a)|2, а также пренебрегая фазовым сдвигом выходного сигнала, т.е. принимая a — a0, получаем
-СО
В соответствии с равенством Парсеваля интеграл
J +00 +00
Q = -^- JlS(^a)I2Ctoa= Js2(a)da
-X -X
есть полная энергия сигнала, т.е. пиковое значение выходного сигна-
310 Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах
ла
yc(a) = 4,Q. (11.8)
В том случае, когда на входе системы имеет место гауссовский шум (помеха) со спектральной плотностью на входе Фш(юа) = const = Фш, то и на выходе оптимального фильтра шум останется гауссовским. Спектр мощности помех на выходе фильтра
Фш.Вых(®а) = Фш(®а)|Я(/®а)]2 = Фт|Я(;С0а)|2.
Дисперсия шума на выходе
1 ^ Ф 44X3 2
An = — [Фш.ВыхК)сК =~ JlH(jWa)\'dtOa. (11.9)
-oo —оо
Тогда с учетом (11.7) — (11.9) отношение мощностей сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра можно представить в следующем виде:
^ = у!{О)/ош = Я/Фш. (11.10)
Таким образом, максимально достижимое отношение сигнал/ помеха зависит только от энергии Q входного сигнала и спектральной плотности мощности Фш белого шума на входе фильтра.
Выражение (11.10) было получено для случая Фш= const, т.е. для шума с равномерной спектральной плотностью в рабочей полосе пропускания. Для шума, спектр которого описывается функцией Фш(юа), рассуждая аналогично и применяя неравенство Буняковского-Швар-ца [24, 30], можно получить более общее выражение для отношения сигнал/помеха (сигнал/шум) в случае оптимального фильтра:
1 7|S(;«„)|'
Частотная характеристика оптимального фильтра в этом случае имеет вид
S* ( со ^
H{i°>a) = В0 ф ^И\ехр(~ І<°а*о)' (11.12)
где B0 — некоторая постоянная, аналогичная A0.
Хотя выражения (11.10) и (11.11) получены для идеализированных, оптимальных, систем, их можно использовать и в практике расчета реальных приборов, так как они позволяют рассчитать предельно достижимые значения отношений сигнал/помеха, а также устано-
311 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
?
вить критерий качества реальных приборов по степени их приближения к оптимальным вариантам.
Все приведенные выше рассуждения и выводы действительны не только для одномерных функций, но и для многомерных представлений сигналов и помех, в простейшем случае — двумерных. Например, выражение (11.12) в двумерной форме можно представить в следующем виде:
, S S* IjaxJa ) г , H(JCOxJay) = B0 —^-Yexpr Л®*х° + &ууо )]•
К сожалению, даже в простейших практических случаях реализация согласованных фильтров, особенно оптических, т.е. в оптическом спектральном и пространственно-частотном диапазонах спектра, затруднена. Поэтому обычным способом фильтрации является согласование полосы пропускания фильтра с полосой частот, занимаемой полезным сигналом, т.е. квазиоптимальная фильтрация. Хорошо известна связь между шириной спектра сигнала в виде одиночного импульса Дсоа и шириной импульса Да0: ДюаДа0 = const. Например, для прямоугольного импульса иногда выбирают полосу Дсоа» 8,6/Да0. В этом случае отношение сигнал/помеха уменьшается приблизительно на 18% по сравнению с согласованным фильтром.
