Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для полного решения задачи необходимо определить коэффициенты akbg в (4.128) так, чтобы удовлетворить (4.119). Конкретные методы их вычисления рассмотрим ниже. Подставляя (4.128) и (4.117) в (4.119), умножая его слева на ехр (—ikr), интегрируя по dr от —до +00 и используя свойства 5-функций, находим, что акЬ* удовлетворяют системе линейных однородных уравнений
[Е - (h'l2m)(k+b'gf] akb-g = Z Vb-,akb- g. . (4.131)
Подставляя (4.126) в (4.119), находим уравнение для модулирующей функции ик (г):
Auk(r) + 2ikVuk(r) +
+ (2tfi/hJ) [?" - (hJ/cJ 12т) — V(r)] uk(r) = 0. (4.132)
Уравнения (4.119), (4.131) и (4.132) эквивалентны. В дальнейшем будут использоваться все три способа записи. В силу однородности системы (4.131) значение одного из коэффициентов, напримерак0, можно задать произвольно. Тогда значения остальных акь* (при данных Е и к) определяются однозначно. Иначе говоря, для тех %, которые лежат в интервале (4.130), ако можно задать независимо друг от друга; коэффициенты же вида akbg (с bg Ф 0) однозначно определяются через ак0 и Е. Система (4.131) имеет не нулевые решения, если ее определитель Д равен нулю; он зависит от Е, к и всех Vb • .
Секулярное уравнение Д (Е, к, Vb*g) = 0 имеет, вообще говоря, бесконечное число корней, которые являются функциями вектора к. Поэтому спектр энергий электрона в периодическом поле есть совокупность отдельных полос дозволенных энергий
Е = Е$(к), Г = 1,2,3,... (4.133)
Таким образом, задания квазиимпульса к недостаточно для однозначного определения энергии. Необходимо задать еще номер полосы f. При этом совокупность чисел f характеризуется тем, что спектр энергий^ (Ас) (при данном к) уравнения (4.131) является дискретным; можно определить наименьшее значение^ (при данном к), т.е. спектр (4.133) ограничен снизу и среди значений Е% (к) нет кратных. Первые два утверждения являются совершенно строгими и введены как предположения, чтобы не вдаваться в сложные математические доказательства. Наименее очевидно последнее утверждение. Для того чтобы система Д = 0 имела кратные корни, нужно чтобы определяющие ее коэффициенты Vb* удовлетворяли
каким-то добавочным условиям симметрии. При любых Vjf вырождения,
конечно, не будет. Иначе говоря, тот факт, что одному и тому же квазиимпульсу к и одной и той же энергии Е соответствует несколько волновых 204
функций, не вытекает непосредственно из условия (4.116), а может явиться следствием какой-то добавочной симметрии (точечной). Строгая теория показывает, что такое ’’сверхвырождение” осуществляется достаточно редко и для относительно ничтожной доли значений к.
Внутри каждой полосы номера f энергия является периодической функцией волнового вектора к с периодом обратной решетки. Это можно доказать по виду системы (4.131) и ее определителя. (Из (4.131) видно, что замена к на к + bg просто означает иной порядок написания уравнений системы, т.е. она остается инвариантной; поэтому и корни уравнения Д = 0 останутся неизменными, так что
?>(* + *;) = ?>(*), (4.134)
т.е. энергия периодична с периодом обратной решетки. Тогда имеем
?>(*) = I ?'Л|||Г ехр (ЛЯ,И). (4.135)
т
Установим нумерацию энергетических уровней в (4.133), т.е. перенумеруем все возможные состояния электрона с заданным к. Рассмотрим перенумерованную последовательность волновых функций для данного значения к, бесконечно близкого к первоначально выбранному. Тогда ясно, что каждая из функций этой последовательности бесконечно близка к соответствующей по номеру f функции первой. Так можно охватить всю область возможных значений к, определяемую по (4.130), ибо система (4.131) имеет решение при любом к. Теперь можно классифициро-вать функции i//*f(r) из (4.126) или (4.128), объединяя в один класс все функции одного номера f. Внутри этого класса фь$ (г) меняется непрерывно и однозначно с к в области (4.130), а две функции для бесконечно близких к и к', но разных ? Ф ?', согласно вышесказанному, не бесконечно близки. Эти классы функций и называют зонами, и тогда основной вывод зонной теории гласит: каждое стационарное состояние электрона в идеальной решетке однозначно определяется заданным квазиимпульсом к и номером зоны f (полосы энергий) i/fcf (г) и (к). Подсчет состояний в зоне делается так же, как и в одномерном случае (см. (4.108) — (4.110)). Вводим условия периодичности, по которым Фкf (г) повторяются при перенесении любой элементарной ячейки решетки на любой из векторов вида С,д,, С2Д2, G3Д3, где Git Gj и С3 - большие целые числа. Произведение GiС2G3 = Додает полное число элементарных ячеек в кристалле. Это требование периодичности в применении к функциям (4.126) и (4.127) дает
к, = iTfKi/dfit, /=1,2,3, (4.136)
где к,, к2 и к3 — целые числа. Поскольку внутри зоны возможные значения к{ ограничены, помимо этого требования, неравенствами (4.130), то каждое к,- меняется там в пределах
