Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
-Gi/2 < к,- < GJl (4.137)
и, следовательно, принимает внутри зоны G,- значений. Поэтому полное число функций в зоне равно N. Если N велико, то спектр значений к,- является практически непрерывным. Нарушение этого условия возможно лишь для очень мелких частиц.
205
4.2.2. Зоны Бриллюэна
Наряду с рассмотренным построением зон, Л. Бриллюэн (1928) предложил другой метод. Из (4.134) следует, что область возможных значений к должна удовлетворять единственному требованию: их должно быть вполне достаточно, чтобы любой вектор к' в обратном пространстве можно было представить в виде
к' = к+Ь%, (4.138)
где bg — любой вектор обратной решетки (1.39). По Бриллюэну эту область строим так: берем определенный bg и строим две плоскости, нормальные к bg и расположенные по разные стороны от начала координат на расстояниях lA I Л|1, их уравнения будут
kb*g =±lA\b*g \2. (4.139)
Точки к — пространства внутри слоя между плоскостями (4.139) назовем внутренними, а остальные — внешними; при этом точки, лежащие на одной плоскости, отнесем к внутренним, а на другой — к внешним (рис. 4.11). Ни одну внутреннюю точку нельзя перевести по (4.138) в другую внутреннюю. Напротив — любую внешнюю точку можно получить из какой-то внутренней путем последовательного применения преобразования (4.138). Проводя из начала координат векторы bg ко всем остальным узлам и строя для них плоскости (4.139), получим пересечением этих плоскостей ряд замкнутых объемов, границы которых и будут бриллюэновскими. Самый внутренний объем будет каким-то сложным многогранником. Его внутренние точки не связаны между собой преобразованием (4.138), которое связывает их только с внешними. Этот многогранник и есть первая зона Бриллюэна. Она не совпадает с зоной, построенной прежним способом (кроме решеток, у которых примитивные векторы ai> а2, аз и bi, b2, bз образуют прямоугольные параллелепипеды), и ее границы нельзя выразить неравенствами типа (4.130). Но совокупность волновых функций (число состояний) в зоне или ее объем при обоих построениях те же, они лишь расположены в различном порядке. Выше неоднократно упоминались зоны Бриллюэна. Легко сообразить, что уравнения их границ (4.139) точно совпадают с формулой Вульфа — Брегга (1.40).
В качестве примера рассмотрим плоскую квадратную решетку с пара-
, 2я
метром а. В этом случае вектор обратной решетки равен bg= — (g\*\ +
а
+ g2 е2) и (4.139) примет вид
kxgi + kyg2 =—(g\+gl). (4.140)
Перебирая все возможные комбинации целых чисел и g2, находим урав-
/ II I
Рис. 4.11. Построение границ юн Бриллюэна: / - область внешних точек к-просгранства, II - область внутренних точек к -пространства.
206
2тс'/а*
Рис, 4.12. Построение зон Бриллюэна для простой квадратной решетки атомов.
нения линий - границ зон (рис. 4.12) ?, - ± 1, g2 =0; кх = ± тг/а; ?, = 0, g2 = ± 1; ку = ± тт/а — эти четыре прямые ограничивают квадрат (/ на рис. 4.12) со стороной 2тг/а и с центром в кх = ку = 0, который и является первой зоной Бриллюзна плоской квадратной решетки. Стороны квадрата являются также частью границ второй зоны. Следующие находим из условий#, = l,g2 = ± 1; кх± ку = 2тт/а\ #, = -1 ,g2 = ± 1; -кх ± ку = = 2тт/а. Эти четыре прямые вместе с четырьмя сторонами квадрата ограничивают вторую зону. Она, как и в одномерном случае, состоит уже не из одной области ^-пространства, а из четырех одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольников, гипотенузами которых служат стороны квадрата первой зоны. Восемь катетов этих четырех треугольников опять служат частью границ третьей зоны. Остальные шестнадцать ее сторон находим из уравнений ?, = ±2,g2 = 0; ±2кх = 4тт/а\ ?, = 0, g2 = ±2; ± 2ку = 4тт/а, а также из уравнений прямых, которые при пересечении дали квадрат первой зоны.
Из рис. 4.12 видно, что третья зона состоит уже из восьми отдельных прямоугольных треугольников, примыкающих своими гипотенузами к восьми катетам треугольников второй зоны. Используя эту процедуру, можно легко построить следующие зоны (рис. 4.12). Из этого построения можно сделать два важных вывода: во-первых, суммарная площадь каждой зоны одинакова и равна площади квадрата первой зоны; во-вторых, путем трансляции на вектор обратной решетки параллельно осям кх, ку можно перевести куски второй, третьей и т. д. зон и целиком заполнить всю площадь квадрата первой зоны (см. рис. 4.12). Как было сказано выше, изображение всех зон по всему ^-пространству — это представление распространенных зон, а проектирование на первую зону — представление приведенных.
