Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.10. Зависимость энергии Е (штриховая кривая) и средней скорости зонного электрона и (сплошная кривая) от квазиимпульса ? (волнового числа) в одномерном случае для первой зоны.
Выясним общий вид спектра энергии электрона в идеальной одномерной цепочке. Будем откладывать по оси абсцисс квазиимпульс \ (отметив точки 0, ± тг, ± 2тг, . . .), а по оси ординат - энергию Е(%,$) (рис. 4.9). Рассмотрим сначала область значений \ из (4.108) и (4.109), т.е. ограничимся одним периодом функции ?”(?, ?)• Тогда из рис. 4.9 видно, что для различных зон (в данном случае двух: fi и f2) энергетический спектр состоит из ряда расположенных друг над другом отрезков кривых при условии, что изменение \ ограничено условиями —я < \ <я. Такой способ изображения энергетического спектра, как уже отмечалось, называется методом приведенных зон. Можно, однако, продолжить кривую периодической функции ?”(?) вдоль всей оси абсцисс, отказавшись от этого условия. Это будет метод расширенных зон.
Итак, из рис. 4.9 видно, что энергия Е является монотонной четной периодической функцией %. В методе приведенных зон первая полоса энергии (при f = 1) при ? = 0 (или в методе расширенных зон, при \ = 2яи, где п = ± 1, ± 2, ...) имеем минимум Е, вторая полоса (при f = 2) — максимум и т. д., по очереди. Наконец, при \ = 0, ± я, ± 2я, . . . кривые имеют касательные, параллельные оси абсцисс (ЪЕ/Ъ\ = 0).
Сравним график рис. 4.9 с графиком зависимости энергии от импульса свободного электрона. В методе расширенных зон считается, что в первой зоне l?l = (1/fi) \p\d меняется от 0 до я, во второй - от я до 2я и т. д. Из сравнения параболы на рис. 4.17 и 4. 24, изображающей спектр энергий свободного электрона, с кривыми энергии электрона в цепочке для разных полос (т.е. разных значений f) в разных зонах видно, что наличие поля цепочки разрывает параболу и отгибает разорванные концы так, чтобы они подходили к границам зон с касательной, параллельной оси абсцисс.
Формула (4.106) позволяет из вида спектра энергий получить представление о средней скорости электрона в состояниях (4.88). Средняя скорость электрона в цепочке, как правило, отлична от нуля. Это следует из (4.107), ибо, если внутри зоны ЪЕ/Ъ^ = 0, то д/(Е)/дЕ = что при ре-
200
гулярности потенциала V (х) недопустимо. Таким образом, в каждом из состояний (4.88), лежащих внутри зоны, с электроном связан отличный от нуля ток. Ток обращается в нуль лишь на краях зоны, где ЬЕ/Ь% = 0. Скорость — нечетная функция ?, поэтому состояния с +? и — ?, с одной и той же энергией (см. (4.111)), обладают противоположно направленными скоростями. На рис. 4.10 приведены графики средней скорости и энергии для первой зоны. В правой половине зоны (0 < ? < я) скорость положительна, а в левой (—п < ? < 0) — отрицательна. Начиная с ? = 0, скорость в обеих половинах зоны возрастает по абсолютной величине, при % = ± я/2 достигает наибольшего значения и затем убывает, достигая нуля на краях зоны. Используя теорию групп, можно доказать, что кривая дс(?) может иметь всего один максимум внутри зоны1.
Наиболее важным результатом зонной теории (помимо ’’свободного размазывания”электрона по цепочке) является то, что при приближении к краям зоны абсолютная величина тока стремится к нулю. Из сравнения рис. 4.9 и рис. 4.10, видно, что при Э2?’/Э? > 0 связь энергии со средней скоростью качественно аналогична случаю свободного электрона — возрастанию энергии отвечает рост скорости. Иначе обстоит дело при Э2?/Э?2 < < 0. Здесь при росте Е скорость убывает. Эту аномалию, как отмечалось выше, можно формально описать введением отрицательной эффективной массы электронов. Сравним этот результат с модельной задачей п. 4.1.3 для узких полос, для которых отрезок кривой f{E) между граничными прямыми в дозволенной области можно аппроксимировать прямой (рис. 4.8)
При нашем способе нумерации состояний в полосах знак 0 должен меняться на обратный от полосы к полосе. Выражение (4.114) совпадаете (4.53) модельной задачи. Из (4.114) для средней скорости (4.106) имеем
что аналогично формуле (4.60) модельной задачи.
Полученные нами выводы практически исчерпывают общие свойства электрона в одномерной цепочке атомов 2 .К сожалению, их нельзя целиком распространить на реальный трехмерный случай. Однако эти результаты можно получить с помощью методов теории групп, несколько иными способами3, которые допускают простое обобщение на случай трех измерений.
Сделаем в заключение еще одно замечание. Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом формально эквивалентно уравнению классического гармонического осциллятора с периодически зависящей от времени частотой, например4
1 См., например, Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристал-
ле: Пер. с англ./Под ред. В.Л. Бонч-Бруевича. - М.: Мир, 1968.
3 См., например, статью Kramers Н.А. - Physica, 1935, и. 2, р. 483.
3 См., например, цитированную выше монографию Джонса Г., § §8-11, гл. 1.
4 См., Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1973.
