Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
4.2.5. Приближение почти свободных электронов
Для конкретизации общей теории рассмотрим предельный случай почти свободных электронов. Выше уже указывалось, что многое в металле можно качественно понять на основе модели совершенно свободных электронов. Может оказаться, что и в реальном кристалле взаимодействия электрона с ионами и другими коллективизированными электронами хорошо компенсируются и суммарный потенциал V (г) мал. Тогда справедлива теория возмущений, где за нулевое приближение принимается свободный электрон, а за малый параметр отношение V(r)/E. Здесь возможна трудность из-за того, что в нулевом приближении спектр непре-
216
рывен. Но с помощью вспомогательного приема можно свести эту задачу к задаче с дискретным спектром. Электрон в произвольном периодическом поле имеет волновую функцию (4.128), коэффициенты разложения которой удовлетворяют (4.131). Систем (4.131) существует бесчисленное множество, ибо каждому к соответствует своя система, а составляющие к принимают целый континуум значений (см. (4.137)). Каждую из этих систем уравнений можно рассматривать независимо от других и каждому к выделить совокупность состояний, образующих бесконечную, но дискретную последовательность, и к ней можно применять обычную теорию возмущений. Система с V = const или V = О играет роль невозмущенной. В этом случае система (4.131) примет вид
где q — для каждого решения какой-то один из векторов bg \ энергия при этом равна
Модель пустой решетки. Сначала сформулируем задачу свободного электрона как частный случай его движения в периодическом поле. Каждому из решений (4.162) соответствует плоская волна
Здесь эти векторы различаются на векторы обратной решетки. По п. 4.2.4 система (4.131), а следовательно, и решения (4.164) удовлетворяют трем условиям: спектр (4.163) всегда дискретен, ибо вектор q определяется тремя целыми числами (qt, q2, Яз) и поэтому должен испытывать только конечный прирост; среди уровней (4.163) есть наиниэший; как правило, при произвольном к среди зтих энергий нет равных. Поэтому, отвлекаясь от возможности появления кратных корней, можно и для свободного электрона применить классификацию состояний по зонам: вместо определения функции (4.164) волновым вектором ? ей можно приписать квазиимпульс h it и номер зоны f. Для распределения состояний свободного электрона, следуя п. 4.2.4, расставим все энергии (4.163) для данного к в возрастающем порядке, перенумеровав их числами f. Когда это проделано для всех к, то состояния с одним и тем же номером f объединяются в зону. При зтом одной зоне соответствует не один вектор q. Это становится ясным, если написать разность между двумя энергиями для одного к и разных q :
а ее решения —
°кЬ* = o6fc.„
(4.162)
2т
(4.163)
ф (г) = а е‘*г
(4.164)
с волновым вектором
$ = к+ q.
(4.165)
Е(к +q')~ Е(к +q") = — [2k(q' - q") + q'' - q"*].
2m
(4.166)
Знак (4.166) дает порядок расстановки состояний к, q' и к, q" по зонам;
217
/7=2 Г-2\
X*" 4 л/
У
V'S
q = D^>
Рис. 4.20. Энергетические полосы в одномерном случае в модели пустой решетки.
если он положителен, то состояния с q ' принадлежат зоне с большим номером f, чем с q", в противном случае — наоборот. Из
(4.166) видно, что при одних и тех же q' и q", но разных к знак (4.166) может быть различным. Отсюда, конечно, не следует, что при классификации состояний свободного элек-
-я 0 к а л трона по зонам возможна путаница, ибо, пока
(4.166) отлично от нуля, все ясно. Только номера зон нельзя однозначно связать с каким-то q из (4.163) (см. ниже). Особый случай имеет место, когда
2k(q'- q") + q'* - q"2 = 0. (4.167)
При этом система (4.131) при заданном к имеет кратные энергии. Из
(4.167) видно, что те к, для которых реализуется особый случай, лежат на участках плоскостей в Л-пространстве (т.е. их число относительно мало). Если к принадлежит какой-нибудь из этих плоскостей, то энергии
2т
(.к + q')2 = — (k+q'J 2т
соответствуют два состояния, которые уже нельзя однозначно распределить по зонам. Здесь имеет место соприкосновение зон по какой-то из плоскостей (4.167). Состояния, бесконечно близкие к тем, для которых имеет место это ’’сверхвырождение”, расставляются однозначно по зонам f и f + 1. Сами же ’’сверхвырожденные” состояния можно произвольно приписать обеим зонам. Не исключено одновременное соприкосновение трех или четырех зон; но это будет происходить лишь на прямых или в точках Л-пространства.
Для наглядности рассмотрим сперва случай одномерной цепочки с периодом d и с обратной решеткой с периодом 2я/с?; роль вектора q примет величина 2nq/d (q — целые числа), а к — отношение k/d, где к удовлетворяет условиям (4.87). Тогда (4.163) примет вид
