Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.7.2. Скин-эффект
Рассмотрим сначала проникновение электромагнитного поля в металл в отсутствие постоянного магнитного поля. Тогда согласно (3.181), (3.254)
пе2
/=----- т (1 -/uit'C Е. (3.256)
m
Подставляя (3.256) в (3.253), получим
V div Е - ЛЕ = и>2с1 е(и>)Е, (3.257)
где введено обозначение
€ (oj) = 1 + 4тг(не2 т /moj(l - (шт ) = 1 + it ujp/uM 1 - i'u>t ), (3.258)
е(ы) имеет смысл диэлектрической проницаемости металла на частоте ы. Величина
uip = (4nne2/">)''2 (3.25?)
размерности с'1 называется плазменной частотой; ее физический смысл будет выяснен ниже. Для хороших металлов и>р ~ 101 6 с~].
Пусть металл занимает полупространство .v > 0, и на него нормально падает электромагнитная волна (обобщение на случай наклонного падения не представляет труда). Тогда Е зависит только от х. Вектор электрического поля должен быть нормален направлению распространения, т.е. Ех = 0. Тогда
div Е - ЪЕу/Ъу + dEzjdz - 0, Д Е = d2Ejdx2 ,
и (3.257) примет вид
д2Е/дх2 - (ы2/с2) е (ч>) Е = 0. (3.260)
Поведение решений уравнения (3.260) различно при разных ы. Рассмотрим сначала область низких частот
ш? « 1 (3.261)
(для хороших металлов это означает и> -t 10’ с-1 при низких температурах и oj 101г 1013 с'1 при высоких). При этом можно пренебречь ит по сравнению
с единицей в (3.258); кроме того, и> <t т и>р (это вытекает из (3.261), так как всегда и>рт »> 1). Тогда е (ы) примет вид
е(и>) = iruip /и = 4niojui, (3.262)
где о - статистическая проводимость металла. Подставим (3.262) в (3.260). Общее решение дифференциального уравнения (3.260) имеет вид
Е(х) = Л exp [(47T(acj/cJ)1,2.v] +
+ Яехр [ -(4ntou>/c2)1,2x\ ~ А ехр [(1 +i)x/b ] +Яехр [-(1 +/')*/6l. (3.263)
где
5 =(г2/2тгыо)‘'2. (3.264)
170
Первое слагаемое в (3.263) экспоненциально нарастает при углублении в толщу металла и должно быть отброшено. Тогда имеем
Ь'(х) = ?40) ехр ( -(1 + 0 л/6 |. (3.265)
Таким образом, поле практически исчезает в толще металла на расстояниях от поверхности (и осциллирует с таким же характерным периодом). Для хороших металлов (типа меди) при частотах ы~10’0 -f 10’1 с"1 6 ~lffs см. Явление, состоящее в непроникновении высокочастотного поля в металл, и называется скин-эффектом (от английского слова skin кожа), а 6 - глубиной скин<лоя. Проверим
Рис. 3.21. Эффективные электроны при аномальном скин-эффекте.
условие применимости локального приближения (3.255). которое с учетом (3.261) принимает вид
Т< 6, (3.266)
где I = v(i0)T - длина свободного пробега. При низких температурах в чистых образцах / достигает 0,1 см и условие (3.266) нарушается. Скин-эффект в нелокальном режиме (/>; 6У называют аномальным. Глубина проникновения поля в металл 6 при предельно аномальном скин-эффекте I > 6 может быть просто оценена из качественных соображений об эффективных электронах, предложенных Пиппар-дом. Если поле проникает в металл на глубину 6*, малую по сравнению с длиной свободного пробега, то взаимодействовать с электромагнитным полем будут только те электроны, которые движутся под малыми углами к поверхности ч>^6*/1 (рис. 3.21), так как все остальные только малую часть времени свободного пробега ’’чувствуют” поле и получают от него энергию. Число таких эффективных электронов лэф ~6 */|/7и должнобыть, по Пиппарду, подставлено в проводимость о, которая заменится на оэф = 6*о//. В выражении для 6* должна входить оэф вместо о:
6* ~(с2/2тгыаэф)1'2 ~6(7/6*)1'2,
или
6* ~6(7/6)1'3 >Ь. (3.267)
6 зависит от частоты ы как ы~1/2, а 6* - как ы"1/3. Построение детальной теории аномального скин-эффекта требует решения кинетического уравнения с учетом не только диффузионного члена, но и рассеяния электронов на поверхности образца1.
Вычислим теперь коэффициент отражения электромагнитной волны от поверхности металла при нормальном скин-эффекте. Из оптики известно выражение для коэффициента отражения электромагнитной волны при нормальном падении'
R = | (V«K^)'- П/(ч/7?137+ 1)| 2, (3.268)
где ветвь корня выбирается так, что lm \Je(u>Y> 0. Подставляя для е(ы) выражение (3.262), находим, с учетом нераэенсгва ы < и>рт ~а
11+1- (ы/2яо)1/2 R = --------------------
I 1+1 +(ы/2яо)1/2
[ 1 -(ы/2яо)1/2 J2 + 1
--------------------- » 1 - 2 | -----) (3.269)
