Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
а
Переходя в этих формулах к интегрированию по энергии de, находим (и* du = (2е)3/2 (m*fs/2 de), при квадратичном законе дисперсии (3.23)
Jx ~ LiEx — L2Ey, (3.224)
0 = L2Ex+LlEy, (3.225)
где введены сокращенные обозначения
16пе2 (2т*)1'2 +- дп0 е3/2 7(e)
Li=----------5----— fde— --------------(3.226)
ЗИ3 ; Эе 1 +s (е)
16яе2 (2т*)1/2 +- Эи0 e3/2r(e)s(e)
L2=- ---------- -------- f de-------- ---------V-—¦ (3.227)
3h 0 Эе 1 + s (e)
Решение (3.224) и (3.225) относительно/^ иЕу дает
Ex=LJxI{L\+L\), (3.228)
Еу = — L2jx I (L2 + L\). (3.229)
Иэ (3.228) находим удельную электропроводность в магнитном поле а (Я2) или магнетосопротивление р (Hz) = [а (Я,)]-1:
Р №) = (/-? +Ll)L\l, (3.230)
а из (3.229) — напряженность поперечного электрического поля Холла. Если ограничиться нулевым приближением для вычисления интегралов (3.226) и (3.227) (см. (3.190)), то, в силу (3.214), будем иметь
L2 =s (f0) = шнт (f0) Li • (3,231)
164
Таблица 3.5
Экспериментальные н теоретические значения R постоянной Холла для различных металлов1
Металл Л ¦ 101 3, В ¦ см/А ¦ Гс Металл R ¦ 101 3, В ¦ см/А • Гс
(Л • 10' \ В • м/А ¦ Т) (R ¦ 10' *, В ¦ м/А • T)
эксперимент теория эксперимент теория
Си -0.54 -0,74 Во +7.7 -0.25
Ag -0.9 -1.04 Zn + 1.0 -0.46
Аи -0,7 -1.05 Cd +0.53 -0.65
Li - 1.7 - 1.31
Na -2,1 -2,4 Al -0.3 -0,34
'Теоретические значения см. Зейтц Ф. Современная теория твердого тела: Пер. с англ./ Под ред. Г.С. Жданова. — М. — Л.: Гостехиздат, 1949, табл. 44, а экспериментальные см. Таблицы физических величии /Под ред. И.К. Кикоина. - М.: Атомиздат, 1976, с, 470.
Поэтому, подставляя (3.231) в (3.230) и затем в (3.229), получаем
Еу = ет (fo)^z ix I m*co (Hz). (3.232)
Из (3.232) видно, что холловское поле Еу, если пренебречь зависимостью электропроводности от Hz (см. ниже), линейно зависит от магнитного поля Hz и продольного тока jx. Таким образом, мы вывели формулу для нечетного поперечного гальваномагнитного эффекта Холла (Еу меняет знак при изменении знака Hz или jx). Множитель перед H-jx в (3.232) носит название постоянной Холла:
^=er(f0 )!m*ca(Hz). (3.233)
Ниже (см. (3.237)) мы покажем, что в первом приближении
о (Hz) = а (0), (3.234)
где а (0) дается по (3.181). Поэтому, используя (3.234), для постоянной Холла из (3.231) находим
R = 1 /пес. (3.235)
Из (3.235) видно, что знак R определяется знаком заряда носителей тока е (электрона), а величина — их плотностью п (как и в классике).
В табл. 3.5 приведены опытные значения R и вычисленные по (3.235), если в нее вместо п подставить число валентных электронов в единице объема. Для ряда металлов получается хорошее совпадение теории с опытом, в особенности для жидких щелочных металлов, где, по-видимому, предположение, что п совпадает с числом атомов в единице объема, лучше всего выполняется. Однако имеются и существенные расхождения между теорией и опытом. Во-первых, в ряде металлов (Be, Zn, Cd, Al и других) опыт дает другой знак постоянной Холла, чем предсказывает теория по (3.235). Во-вторых, у некоторых металлов (ферромагнитные, Bi и другие) наблюдаемая величина постоянной на несколько порядков величин превышает теоретические значения.
165
Эта ’’катастрофа” с постоянной Холла, как классической, так и квантовой модели газа свободных электронов, связана с их грубостью и была устранена лишь в более точной зонной модели (см. гл. 4).
С помощью приближенной формулы (3.23S) можно показать, что произведение постоянной Холла на удельную электропроводность Ra прямо пропорционально подвижности электрона проводимости и, т.е. скорости, приобретаемой им в поле единичной напряженности (t'x = 1). Действительно, согласно (3.3), имеем
д = v/t'x - а/пе
и, в силу (3.235), находим
м/с = aR. (3.236)
Из опытных данных для значений aR для металлов и электролитов следует, что подвижность и сравнительно мало меняется от металла к металлу (за исключением металлов с аномально большими значениями | Я|) и в сотни раз превышает подвижность ионов в жидких электролитах.
