Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заменим п по (3.163) и Ь+ — Ь_ — по (3.170); в силу принятых приближений считаем, что добавку nlt нарушающую изотропность п0, в первом приближении можно искать в виде (3.171), т.е.
где
(3.173)
(3.174)
Кинетическое уравнение при этих условиях примет вид
е Э п
Ex------------ b. - b .
т bvx
(3.175)
«1 =ихх(и).
(3.176)
Здесь х(и) — малая неизвестная функция, зависящая только от абсолют-
153
ного значения скорости и (или энергии е ) 1; формулу (3.176) можно
рассматривать как член первого порядка в разложении функции п по
степеням Ех (линеаризованное уравнение Больцмана). В итоге вместо
(3.175) получаем
с дп0 и.
— Ех— = ~— х(Ю. (3.177)
т ЭиЛ г(и)
Перейдем в (3.177) от дифференцирования по их к е, используя закон дис-
персии (3.23). В результате из (3.177) находим
_ дп о / ч но \
Х(и) = - т(е)сЕх -—. (3.178)
Эе
Для интегрирования по р определим число состояний в интервалах от Px.Py.Pz До рх + dpx, py+dpy, pz + dp- в объеме V. Из квантовой механики известно, что одно состояние находится в объеме фазового пространства величиной/;3 (см. (3.25)). Фазовый объем, занимаемый электронами, равен произведению объемов в р- и в г-пространстве. Таким образом, указанному интервалу импульсов соответствует фазовый объем Vdpxdpydpz, а число квантовых состояний в нем равно (с учетом спинового вырождения)
2 V j in \3
dTp = —j- dpx dp у dpz -т Jrv — 2V J dux duy du.; (3.179)
здесь in3 появилось из-за замены p- mv. Выражение для плотности тока по оси х будет
с _ с егЕх дп0
jx=—rfvx>tidTp=---fVxX(v)dTp=-—— fulr(e) -—drp. (3.180)
V V V de
Заменяя в (3.180) и2 на -j-u2 и переходя к сферическим координатам в и-пространстве2, после интегрирования по углам имеем
, , , +~ „ 3/Т0
jx = — (&пе in /3h )ЕХ J dvv т(е) -------- .
о Эе
Перейдем теперь от интегрирования по du к интегрированию по de{mvdv = = de и и3 =(2/т)ъ12еъ12)\ это дает:
/\-= - (16 х/2 tic2т'I2)ЪИ3) Ех f dee3l2T(е) —~ . (3.180а)
06
При кБТ < f о можно принять Э/70/Эе « — 6(е - f0)> что Дает
/х =(16v^7rc2/«I/2/3/;3)fo3/2T(fo)/'-'v (3.1806)
1 Такой выбор вида п , естествен но соображениям симметрии, а также потому, что удовлетворяет условиям /(]тг(1туЧ , =0 и f drrdTVn ,4* =0, вытекающим из нормировки (3.164) и определения средней квадратично!! скорости и2 с помощью равновесной функции п „.
2 В силу сферической симметрии и2. = и2. = v\ =_^-i|2 ¦ где черта сверху означает усред-
нение по углам.
154
Используя здесь (3.34), получаем окончательно
/л- = (ne2T($0)/ni)k'x
и, следовательно,
о = пс2т(^0)/т. (3.181)
Формула (3.181) внешне совпадает с классическими (3.4) или (3.7). Однако вместо среднего времени свободного пробега Г в (3.181) оно берется для электрона с энергией Ферми. Этот вывод указывает, что в электропроводности активную роль играют лишь электроны из узкой зоны размытия у энергии Ферми. Более подробных сведений о Г (f0) теория вырожденного газа, как и теория Друде, дать не может, ибо в ней не рассматриваются взаимодействия электронов с тепловыми колебаниями ионной решетки.
Здесь, как и в (3.5), можно ввести длину свободного пробега? (f0):
7"(to) = u(fom?o). (3.182)
Скорость берется для электронов с энергиями f0- По (3.35) ее величина ~ 108см/с. Таким образом, в отличие от теории Друде, дается естественное обоснование постоянству тепловой скорости электрона проводимости и тому, что большая величина / (f0) непосредственно определяется большой величиной Г(fо). Приведенные в табл. 3.1 оценки / становятся вполне разумными. Однако по-прежнему остается невыясненным вопрос о том,почему эти значения столь велики, несмотря на большую ’’тесноту” в кристалле.
3.6.3. Теплопроводность и закон Видемана - Франца
При расчете теплопроводности уже нельзя считать, что п = 0, и поэтому в (3.155) надо учитывать член (Э«/Э/)диф. Если считать, что температура меняется только вдоль х и отлична от нуля лишь дТ/дх, то в Vrn надо учитывать только слагаемое дп/дх. Поэтому формула (3.177) в том же линейном приближении примет более общий вид:
