Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
**('¦) = “ [ехр (/(А’о +q')r)±exp(-iipq._q.. + i(/C0 + <?") г)].
(4.199)
Фк{(Г, 0 = Фк{(Г) ехр — — Е(к, ?) t ,
(4.200)
дф (г, t) л
i h —--------------= (Jf0 - eFr) ф (r, t),
bt
(4.201)
п. 4.1.4.
226
где Jf0 определен по (4.119). Ищем ф (г, t) в виде разложения по стационарным состояниям невозмущенной задачи (4.200)
Умножая (4.203) на фк$(г) и интегрируя по dr , получим, с учетом свойства ортогональности (4.145),
Подставляя в (4.204) матричные элементы координаты (4.150), (4.151) и перенося член с гх в левую часть, найдем 1
При любых достижимых полях F второй член в (4.206) мал и может быть отброшен, ибо не приводит к существенным эффектам. Это приближение сведется к тому, что в сумме по f' в (4.205) следует исключить член с f' = f. Сперва пренебрежем межзонными переходами, заменив правую часть (4.205) на нуль (ниже доказано, что их вклад пренебрежимо мал).
1 Мы следуем здесь работе Houston W. V. - Phys. Pev., 1940, v. 57, p. 184.
*Г
Подставляя (4.202) в (4.201), получим
(4.202)
= I а*Г(0 ¦[?¦(*', $')-eFr]X
(4.203)
da*{-( 0 dt
*r
2 exp f-i (?(*, f) E(k\ f'))/]x
L fl I
X(*f |rl*'r')ofcr(0.
(4.204)
0 eF 9a*f(0 _ ie
= — FX h
Э/ h Э к
X fdru^(r)Vkuk( (r).
Член с f' = f в (4.205) можно исключить заменой
' ieFt ]
exp f druit(r)Vkukt<r) j ,
(4.205)
или
eF
E(k, $)^-E(k,$) - — fdru^(r)Vkuki(r).
(4.206)
227
Решением задачи Коши для уравнения / д eF д \
UrTsrb(')=0 (4 207)
является функция
“*f(') = a*(Of(°)> k(t) = k+eFt/h. (4.208)
Если при t = 0 система находилась в состоянии (4.200), то, согласно (4.208) и (4.202),
*('¦')= Фкик(г). (4.209)
Вычислим среднее значение оператора скорости в состоянии (4.209). Учитывая (4.153), найдем
1 dE(k(t)$)
<v(*T. г» = (*(0 ? | v| *(0 Г) = - —(4.210)
п Ък
Из формул (4.210) и (4.209) определим среднее ускорение dvi(k$, t)
аМ, 0= -7------=Xm7l(k(t)$)eFi, (4.211)
dt 1
где i, j = х,у, z и введен тензор эффективных обратных масс ¦
1 д2Е(Ц)
(4Ш)
Для свободного электронаЕ(к) = h2k2/2m, т^1 =f>ij/m (что и оправдывает название (4.212)). Иэ (4.211) получаем закон Ньютона
ma = eF. (4.213)
Вообще говоря, тензор (4.212) не кратен единичному, и поэтому ускорение электрона в кристалле не обязательно направлено вдоль поля. Параллельность наблюдается при направлении поля вдоль одной из главных осей тензора (4.212). При этом, однако, коэффициент пропорциональности между ускорением и силой (собственное значение тензора (4.212) ш"1) необязательно положителен. Вблизи Е(Acf )т *п все та> 0, а вблизи Е(Л?)га#х все та < 0. В последнем случае электрон ускоряется не против поля, а по полю, т.е. будет вести себя как частица с положительным зарядом. Такие состояния, как уже отмечалось, называют дырочными и зонная теория зтим самым разрешила ’’катастрофу” с эффектом Холла (см. гл. 3).
Предположим, что электрон при t = U имел квазиимпуль'' h к вблизи дна полосы и ускорялся против поля. Его квазиимпульс изменяется по (4.209) и через некоторое время попадает в область потолка полосы, при этом знак ускорения меняется и т.д. В результате, в отличие от свободного, электрон в кристалле совершает в постоянном электрическом поле колебания, а его скорость и, следовательно, ток осциллируют1, в силу (4.120) и периодичности функции Е(к, f). Рассмотрим, например, случай ПК решетки периода d и поле, направленное по одному из векторов трансляции (оси х). Тогда
1 См. Вонсовский С.В. - ЖЭТФ, 1939, т. 9, с. 154.
228
период осцилляций в поле F, t0 определится так: кх ({о) = кх + I е I Ft0/h = кх + In/d,
т.е.
г0 = 2яЬ/ \e\Fd, (4.214)
ибо изменение кх на 2лId означает возврат в прежнее состояние. Типичное значение поля в металлах F~ 1 O'6 В/см, тогда из (4.214) получим г0 — 1с, что намного порядков больше времени свободного пробега в самых чистых образцах. Поэтому периодичность движения электронов в электрическом поле в металлах будет полностью искажаться столкновениями, и можно с огромной точностью считать ускорение электрона постоянным (в полупроводниках эти осцилляции плотности тока, возможно, могли бы наблюдаться) .
