Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
\ 2 1 2j 1 2У (I — n)\{l + n— 1)!
. . / 0 ... 0 W-n+l /, ,0| 0 V + n-1
x Ы cosy-f- i sin Y [iwsin ~2—г cos “2"j =
I
= у
156
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
!Гл. ill
Левая часть этого равенства является линейной комбинацией выражений того же типа, что и левая часть равенства (3), с той лишь разницей, что в одном слагаемом п заменено на п-\- 1, а в другом — на п—1. Применяя к этим выражениям разложение (3) и сравнивая коэффициенты при wl~m, получаем
Мы снова вывели, таким образом, формулу (11) из п. 4 § 4.
Для того чтобы вывести формулу (10) из п. 4 § 4, умножим обе части разложения (3) на соответствующие части тождества-
Выражение в квадратных скобках является линейной комбинацией выражений, аналогичных левой части разложения (3) с той лишь разницей, что в некоторых слагаемых п заменено на л—1 или ti\-1. Разлагая эти выражения по формуле (3) и сравнивая коэффициенты при wl~m, приходим к равенству
Заменяя здесь cos 0 на 2, получаем формулу (10) из п. 4 § 4.
2. Рекуррентные формулы при различных значениях I. С помощью производящей функции, выведенной в предыдущем пункте.
% [Р‘тп (COS 6)] = 4 [/(/_«)(/ + «+ 1) Р‘т „ + , (COS 0) +
V (J п) — Я+ ^)Рт,п — 1 (cos 9)]. (7)
Иными словами,
_____ dpi (z) • ___________
/ l_**_J^=_J.[/(/_„)(/+„+l)p?I1B+1(*)+
+ ,/ (/+ ti) (/ - я + 1) Plm, п - 1 (г)]. (70
0 ( 0 I • • • • 0 п • 0 I 0 \
COS '2 COS 2- I sin Y — 1 Sln 2' (iw Sln “Г cos ~2 = w
и продифференцируем по да’. Мы получим
t{m — ti cos ®)Plmn (cos 9) =
sin 0
[ Vd~\~ n) d — n~\~ 1) л+ 1 (cos 0) —
— /(/—«)(/+«+!) Plm, n + 1 (COS 0)]. (8)
§ 51 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Р1тп (г) 157
легко получить рекуррентные формулы, связывающие функции Р1 (z) с различными значениями /. Например, продифференцировав обе части разложения (3) из п. 1 по да, получим
1 Г// Ч 9 / 9 I , • 9 у-"-1 w
—, ----- (/ — Я) COS да cos -=—[-i sin X
/(/ — «)!(/ + я)! I 2 1 2 1 2)
X (to sin y-f- cos у)/+Л + ^ O' + 'O sin у iw cos у + / 5‘п_|гУ "X
0 I OW+Л-П Y (Z — m)(cos0)
X /®SinT4-COST = 7 . да' m \ (1)
\ 2 21 J Li V (/ —m)!(/ + m)!
m «= — /
Применим к обоим слагаемым в левой части этого равенства разложение (3) п, 1 (с заменой I на I------и сравним коэффициенты при
одинаковых степенях да:
;/ I—ti cos Р /_ (cos 0)4-
2 m + i/u, 'И-'/а
- j - / I-7 / 4- Я sin Р ' “ (cos 9) = |// — т /4л (cos 0). (2)
I m-f-i/з. л—-V2
Затем, умножив обе части равенства (3) из п. 1 на выражение
0 ... 0 да cos -у 1 sin -j, получим
1 ( 0 , . . 0 \*-л+1 /. , 0 , 0 У+»
да cos 1 sm у rasiny-f-cos-
/(/_л)! (/ + л)! \ 2 ' 2/ I— 2 1 2,
I
а А
„I— т
-1
cos у Plmn (cos 0) да' m +1 + i sin у Plmn (cos 0) w1'
y (l-m)\ (/ + «)!
Левая часть этого равенства имеет тот же вид, что и левая часть равенства (3) с заменой / на / —]—и я на я------Сравнивая коэф-
фициенты при да*~т+1, находим
//-я+1 Щ,, V, (COS 0) =
= / 1 cos у Рил (cos 0) + г //+яг sin у/4-1. л (cos в). (3)
Аналогично, умножая обе части равенства (3) из п. 1 на выражение
б б iw sin у -f- cos у, получаем
//TH^^.. + x/i(COS0) =
= 1 у l~ m-t- 1 sin у /4л(cos 0) + //-f-ОТ COS у/4- l,л (cos 0).
(4)
158 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Из равенств (3) и (4) непосредственно следует, что
— i //— Л+1 Sin Yptm + 42,n-i/2(C0S 6) +
+ //+ Я -f 1 COS у Р1т+*/2, /.+!/> ^C0S d'>=V Z+ т + 1 Р‘тп (C0S 6)-
(5)
И
VI— я + 1 cos у 1/а (cos 0) —
— I // + я+1 sin у /ym+_1/4i,l+1/2(cos б) =
= у 1 (cos 6). (6)
Связь между функциями ^„(cosO), верхние индексы которых отличаются на 1, выводится точно так же. Например, умножим обе части равенства (3) из п. 1 на соответствующие части тождества
/ 0 , . . в \ / J в I 9 \ *'(™2 + 1) . О I о