Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
148
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
Из формул (3), (5) и (6) вытекает, что эти операторы задаются равенствами:
Н+ = е
-<Ф
Н =е‘*
. д 1 д0~ . д
1дв
¦ -Д-д ?- -|- ctg в S,
sin 0 dip cty
i а , й в
sin 6 й® С g tty
я. = г
. д
(7)
(8) (9)
7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы.
Мы дадим сейчас другой вывод рекуррентных соотношений для функций Plmn (г), основанный на реализации представлений Tt (и) в пространстве функций на группе SU(2). В п. 5 § 2 главы I было показано, что если Т(g) — представление группы О в пространстве Jq и а — вектор из то равенство
где
R(go)f(g)=f(ggo)> f(g) = (T(g)t a), fE?>
rG G>
задает представление группы О, эквивалентное T(g). При этом матрица представления Т(g) в базисе {е„} совпадает с матрицей представления R(g) в базисе
?n(g) = (T'(g)en, а).
Применим эти результаты к группе SU(2) и ее неприводимым представлениям Tt (гг). В качестве базиса в выберем базис
Ф» (*) =
Л- п
У (/-«)!(/ + «)!
а в качестве вектора а — базисную функцию (-*:). При отображении f—>/(«) выбранному базису соответствует базис, состоящий из функций (Tt(u)tyn, фт), т. е. из элементов tlmn(u) m-Vt строки матрицы представления Tt (гг) в базисе (х)}. Обозначим представление группы SU(2) в пространстве функций /(гг) через Rlm (и). В силу
сказанного выше матрица представления Rim(u) в базисе {С (гг)}, —совпадает с матрицей представления Tt(u) в базисе {<|>„ (.*)}, —l^ns^l.
Но если совпадают матрицы представления, то совпадают и матрицы инфинитезимальных операторов, поскольку они однозначно определяются операторами представления. Обозначим инфинитезимальные операторы представления Rim(u) через А1™, 1^&^;3. Принимая во внимание формулы (6) п. 3 § 2 и сделанное замечание о
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р‘тп{г)
149
совпадении матриц, получаем
H\mtlmn (г?) = - /(Т^ННЛг+Т) 4. „ +1 (и), (1)
Hlmtlmn (и) = — V(l+n) (/— я + 1) 4,»- I (и), (2)
rtmt‘mn(u) = ntlmn (и), (3)
где Н\т = 1Л\т - A1™, HLm = iA[m + /Цт, Н1”1 = 1А[[т.
Чтобы получить искомые рекуррентные соотношения, нам осталось вычислить инфинитезимальные операторы А1™ и подставить их выражения, равно как и выражения для 4л (и), в формулы (1)—(3). Для вычисления инфинитезимальных операторов заметим, что представление Rimiii) является сужением на подпространство lQlm правого регулярного представления
R (ыо)/00 =/(чи0).
Поэтому операторы Hl™, Н1™ и Н13т задаются теми же формулами, что и операторы Н+, //_, Нъ (см. формулы (7)—(9) п. 6). Подставим
выражения для //{т и Н1™ и выражение (6) п. 3 § 3 для tlmn(u)
в формулы (1)—(3). После простых преобразований получим рекуррентные формулы для Р1тп (г):
= — i Yd— w) (/ —|— « —j— 1) Pm, n +1 (z)
= — i Yd ~\~ 1) Pm, n - I (z)
8. Оператор Лапласа. Найденные выражения операторов А1™ k=\, 2, 3 позволяют дать новый вывод дифференциального уравнения для функций Plmn(z). С этой целью рассмотрим оператор
Д/т = {Л1Г? + {ЛТ? + (Aff.
Так как операторы А1™ задаются теми же матрицами, что и операторы Ak, k = \, 2, 3, то матрица оператора А1т совпадает с матрицей оператора А[А$А%. Но из формул (5)—(7) п. 2 § 2 находим после несложных преобразований, что
Al~\- А1~\- А% = — / (/-|- 1) Е.
Следовательно, и
А1т = —/(/+!)? (в пространстве ?im). (1)
dz ***
i
?
i
dP'mn (*) , m --- nz j
dz VI ---г2
150 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Чтобы получить явное выражение оператора А1т через углы Эйлера, воспользуемся выражениями (3), (5) и (6) п. 6. Мы получим
л & , , й д , 1 [ д2 „ д2 , д*
1т — д62 + ctg 0 ,je + sins 0 [ fys 2 COS 0 ^ ^
Поскольку матричные элементы tlmn(u), —принадлежат пространству для них выполняется равенство
^1т^тп 00 = — 1) t-тп. 00 •
Подставляя в это равенство вместо Д/т выражение (2), а вместо tlmn(u) выражение (6) п. 3 § 3, получаем после несложных преобразований дифференциальное уравнение для функций Pmn(z):
п У2р™(2) 2~<»(г)
*¦ ’ dz2 dz
m2 + п2 — 2mtiz r.i , . ,
-------------------Pmn(z) = —l(l + l)P‘mn(z). (3)
Заметим, что операторы Л?" являются сужением на подпространство инфинитезимальных операторов Ak, k=\, 2, 3 правого