Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
регулярного представления R(g). Поэтому и оператор \1т — сужение на й;т оператора
А = А\ + А\ + А\. (4)
Этот оператор называется оператором Лапласа на группе SU{2) и выражается через углы Эйлера той же формулой, что и А1т (см. (2)):
л & , , й а , 1 / д2 „ „ , а2\
аег +g ае Ь sm2 в (df cos а? # + )
Замечательным свойством оператора Лапласа Д является его перестановочность с операторами правого сдвига:
AR(u) = R(u)A, (6)
где
R(ii0)f (и) =f (iiu0).
Это утверждение можно доказать, например, разложив правое регулярное представление R (g) на неприводимые, и заметив, что сужение Д на подпространства Jr>lm кратно единичному оператору (см. фор-мулу (1)). Следовательно, оператор Д перестановочен со всеми неприводимыми компонентами Rlm (g), а тогда он перестановочен и с операторами R(g).
Другой путь доказательства, не использующий формулу (1), заключается в следующем. Покажем сначала, что оператор Д перестановочен с инфинитезимальными операторами А1г А$, А3. Как было отмечено в п. 10 § 1 главы I, инфинитезимальные операторы представления удовлетворяют тем же соотношениям коммутации, что и соответствую-
И] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р1 (г) 151
тп ' '
щие элементы алгебры Ли данной группы. Но в п. 3 § 1 было показано, что касательные матрицы ах, а2, а3 к однопараметрическим подгруппам Й!, Q3 удовлетворяют соотношениям коммутации
[fli, я2] = а3,
[а2, а3] = аъ [а3, at] = а2.
Поэтому имеют место равенства:
[Ах, А^] = А3,
[А%, А3] = Ль [А3, Л1] = Л<1.
Пользуясь этими равенствами, находим [А%, Ах] = AiAiA1 — АхА^А^ = A$A$Ai — А%АiA$ — А3А% = ^А%[А%, Ах]—Л3Л% = — А%Л3 — А3А%.
Аналогично доказывается, что
[A3, А1]=А<1А3-\-А3А<1.
Наконец, [Ар ,4j]=0. Из полученных равенств вытекает, что
[Д, Ах] = [А{ -)- Al -)- А% ^^ = 0.
Точно так же доказывается, что [Д, А%]= 0 и [Д, Д,] = 0.
Согласно п. 10 § 1 главы I операторы представления ^(^выражаются через инфинитезимальные операторы Ak, k = \, 2, 3 по формулам
R 00 =ехр (t\Ax -)- -)- t3A3),
где
и = exp (^й! -|- Ua* -|- t3a3).
Поэтому из равенств [Д, Ak] = 0 следует, что операторы R (и) перестановочны с оператором Лапласа Д.
Можно показать, что оператор Лапласа Д на группе SU(2) перестановочен не только с правыми, но и с левыми сдвигами:
Д L(a) = L(u)\,
где
А (г?о)/(»)=/ («о1»)-
Сузим оператор Д на подпространство функции /(н), постоянных на правых классах смежности по подгруппе Q, состоящей из
/ - N
/ е2 0 \
матриц ! и I, или, что то же, на пространство функций, за-
\ 0 е 2 J
данных на единичной сфере S2. Ясно, что функции /(к) из не зависят от угла Эйлера ф и потому оператор Лапласа на единичной
152 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. III
сфере 5» имеет вид
л _ д2 , , д | 1 д2
0 — ае2 ' g ае ' sin2 0 #2 •
Через <|>, 0 здесь обозначены географические координаты на сфере. Оператор Д0 — это угловая часть оператора Лапласа в трехмерном евклидовом пространстве.
9. Дальнейшие рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения иного типа можно получить, если воспользоваться доказанным в п. 6 § 1 свойством касательных матриц однопараметрических подгрупп. Именно, мы доказали, что если а = ххах -|- дг2а2 -|- дг3а3 — касательная матрица подгруппы g(t), то касательная матрица подгруппы gogWgv1, g0^SO(S) имеет вид Ь=ухах-\-у%а.г-]-у^а3, где у =g0x. Отсюда вытекает, что для любого представления T(g) имеет место равенстЕО
T(g0)AxT(g01) = Ay,
где Ах — инфинитезимальный оператор, соответствующий однопараметрической подгруппе g(t) и Ау, y=g„x — инфинитезимальный оператор, соответствующий подгруппе gbg'tOgo1- Гаким образом,
T(go) Ах = AgoXT(§",). (1)
Положим в равенстве (1) х = (1, 0, 0). Компоненты вектора будут элементами первого столбца матрицы вращения с углами Эйлера ср, 0, ф (см. п. 6 § 1). Из равенства (1) получаем, таким образом, при х —(1, 0, 0)
7"(go) .4, = (cos ср cos <1> — sin ср sin Ц> cos 0)Al T(g0) -|-
—)— (sincp cos <)> -|- cos cp sin ф cos 0)A>7"(gb)“bsin Ц> sin0^43 7™(^ъ)-
Перейдем от матриц Au Аъ А3 к Н? Н_, Нл по формулам
Н+ = iA\ — А$,
Н_ = iAi —|— Ач,
