Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
в ряд Фурье по функциям tlmn (и), причем этот ряд сходится в среднем.
Ряд Фурье функции f(u) имеет вид
i i
л«)=Ц 2 2 «»».&.(«). 0)
I т--= — 1 п — — 1
где 1 = 0, —, 1, ... и коэффициенты Фурье <х1тп задаются формулами
а‘тп = (2/ 4- 1) 5/(») tlmn (») dll. (2)
Перейдем к параметрам Эйлера. Пользуясь соотношениями (2) и (3) из п. 2, получаем следующий результат:
Любая функция /(ср, 0, ф), 0 ср 2u, Osg0<^ir, —2тг<^ф<^2тг, принадлежащая пространству т. е. такая, что
2п 2п п
\ $$!/(?, 0. ф) I2 sin 0 dQ d<? °°> (3)
— 2* 0 0
разлагается в сходящийся в среднем ряд
i i
/(ср, 0. <Ь) = 2 2 2 «тле-г(Я<Р+Лф)ЯтЛсOS0), (4)
т = —1п ——1
§6] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ $U (2) 171
где *)
16п2
2 я 2п г.
X
Х 5 S (cos 0)sin QdBd'pd’b. (5)
-2п О О
Из равенства Парсеваля вытекает, что при этом
II 2i 2л 1
2 2 2 ,а™1’2=^ТбУ § § J |/(?, 0, ф)|* s!n0d0d<pd<|i. (6)
I m = — ln=—l —2л О О
4. Некоторые подпространства функций. Обозначим через ?;} подпространство в ?3, состоящее из таких функций f (и), что для всех диагональных матриц
/ Ч ¦ \
I е2 0 \
h=i _и) О)
'vO е 2/
из SU(2) выполняется равенство
f(iih) = e~intf(ii). (2)
Если углы Эйлера матрицы g равны ср, 0, ф, то g(<p, 0, ф) =
/ N
! е2 0 \
= g(b 0. 0)^(0, О, Ф), где §-(0, 0, ф)=; —диагональная
Vo e~2i
матрица. Поэтому для функций /(g) из ?jj имеем
f(g)=f(b 0, Ф) = ^;л+/(т,0, 0). (3)
Обратно, если функция f(g) на группе SU(2) имеет вид (3), она принадлежит
В частности, подпространству принадлежат все матричные
элементы tlmn (g) при заданном п:
Ln fe) = е-^е ^Р1тп (cos 0), (4)
l=\n\, 1 Я 1 —J— 1, ... , \n\~\- k, ... , -/ ==? ОТ /.
‘) Напомним, что Plmrl (cos 0) = (—1)т_лР^л (cos 0).
172 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА (Гл, ill
Покажем, что эти функции образуют ортогональный базис пространства Иными словами, будет показано, что любая функция /(и) из подпространства разлагается в ряд Фурье вида
СО I СО I
/00=2 2 Wmn оо=*-"•* 2 2 ^-^„(cose), (5)
l = \n I т = — I i~\n\m = — l
ZK те
^ ^/(cp, 0, 0) e,m,fPlmn (cos 6) sin 0 dO rfcp. (6)
где коэффициенты Фурье задаются формулами
2тг К
___( 1)т~л (21 -)- 1)
т 4п
0 0
Для доказательства достаточно показать, что при k ф п имеем
5/(н) ^oodH=o.
(ё* 0
Сделаем в этом интеграле подстановку u = vh, где h = l . ,.
\0 е",
В силу инвариантности меры du получим
?lm = \f(vh) t‘mk(vh)dv.
Но в силу принадлежности /(и) подпространству 2%
f(vh) = e~iatf(v),
а в силу формулы (4)
t‘mk (vh) = е Ш11тк (v).
Поэтому
a l =еНк-п)(л1 .
m m
Так как при кфп то отсюда и следует равенство
а1 =0. Тем самым наше утверждение доказано.
В частности, функции f (и) на группе SU(2), не зависящие от
(Л о \
угла Эйлера ф (т, е. такие, что f (uh)=f (и) при h = l ,
\0 е”/
разлагаются в ряды вида
ОО /
/00 = 2 2 (7)
/=0 т— — 1
где
2 тс тс
ат = (~lr4f+1) ^ j /(СР> 6> 0) еШ?Р1т0 (C0S 81'П 6 dd W
I 6) Разложение функций на группе su (4) 173
Принимая во внимание равенство (9) из п. 9 § 3, получаем, что такие функции разлагаются в ряд вида