Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
2"m + licm+2 Г (m + ---) i
X $ Ф(|',°)Ф(Г, -о-2m) d<, (15)
.П-2
S'
а при n = 2m -(- 1
a-\-i со
и (—l)m+l С Г(а + 2т —1) , ,
II/II 22micm-r (m)i \ Г (a) ctg ita da X
a — i* co
X l Ф (S', a) Ф (S', — 3 — 2m + 1) d%, (16)
sn-2
где —2m-\-\
534 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [Гл. X
Особенно простой вид принимают формулы (15) и (16), если положить а =— ~2~ ' Тогда о = — а—2т (соответственно а= — а—
— 2т —(— 1), и мы получаем при /г = 2/w —(— 2
СО
(-1Г С r(m + tp) v
, , , m-f-i- ( \ \ J Г т + <Р) '
22т + 1п f i г -оо
X 5 |Ф(Г, -m + /p)|arfS'rfp, (17)
а при п=2т -\- \
г( от — -яг + «р)
X 5 |ф(|', -m+Y + *p)|,rfrrfP- (18)
Положительность ||/||2 вытекает из соотношения симметрии
[ |ф(Г, -1=-2 + /р)р|'= ^ |ф(1',-я-32-г-р)|2^', (19)
уХ-3 5Л-2
которому удовлетворяют функции Ф (|', а). Мы не будем останавливаться на выводе этого соотношения, связанного с эквивалентностью представлений Тп° (g) и Тп> _л^а+2(^) группы SH(ri).
5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде.
Мы получили в предыдущем пункте выражение функции / (х), заданной на гиперболоиде [х, х]=1 через функцию Ф(|', а), заданную на сфере S'1'2 — сечении конуса [|, |] = 0 плоскостью ?л=1. Но в п. 7 § 3 главы IX показано, что всякая функция на сфере Sn~% (с интегрируемым квадратом модуля) разлагается в ряд Фурье по системе функций 3^(1'), где АГ=(А0, ku ..., + Ая_3) (и здесь мы включаем вес l = kQ в символ К). Применив это разложение к функции Ф(|', а), получим
ф(1',з)=2Х(а)Ек(1'), (1)
к
где
Ма)= S ®(S'.e)MT)rfs'. (2)
§4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SH (л) 535
Найдем теперь выражение коэффициентов ак(в) через функцию (х). Из формулы (7) п. 1 и равенства (2) имеем
ак(а)= 5 5 /(x)[x,irSHlVx =
5Л-2 [Х,Х]=1
= 5 5 [x.irSHlO^^x. (3)
[X, Xl=I 5Л-2
Пусть х=^хх0, где х0 = (О, 1). Из формулы (5) п. 2 § 3
вытекает, что
ак (з) = ^ / О) tm fe) dx. (4)
[х, х] = 1
Теперь найдем выражение для функции /(х) через коэффициенты
ак(р). Для этого подставим разложение (1) ' в формулу обращения
(12) (соответственно (13) п. 1) и используем формулу (5) п. 2 § 3. Тогда при п=2т -\-2 имеет место равенство
a-}-ico
f(x) =---------biZ?-У if ?(g + 2m) aK(c) in.-о 2"‘fe) do.
22rn+^ + YT^m+^yt tV-L Г(3) (5)
Аналогично, при n = 2m-\-\ имеем (— l)m+1 4 .
f(x):
22mnm? („,) i a-f-i со
X2 § Г (g-+^-------------^rtgKc:aK(G)tn’-°-2m+l(gx)do, (6)
К a —ico
где —2m -(- 1 <Ca<C 1-
Функции (I), по которым ведется разложение в форму-
лах (5) и (6), постоянны на левых смежных классах по подгруппе SO (п — 1) (см. п. 1 § 3) и потому являются функциями на гиперболоиде [х, х] = 1 — однородном пространстве SH(n)/SO(n— 1). Введем обозначение
в К (х) = fKo (gx), [х, х] = 1, (7)
где, напомним, gx — движение, переводящее точку х0(О,..., О, 1) в точку х. Тогда формулы (4)—(6) перепишутся следующим образом:
V(a)— § /(х) 9™ (х) dx. (8)
Ix, X]=»l
536 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Если л = 2т -)- 2, то
Дх) =-------------------------х
22'п+1ТСт+2г(ш+|) i
a-{-ico
х 2 S (9)
К a — i со
а если л = 2/ге-)-1 > то
(_iyn+i
= 22тхтТ(т)i X
a + t со
jj — ctg гсо а^(а) 0% — <г—2m + i (Х) dc> (10)
К a— i со
