Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
СО
T(g) е/= 2 ^vfe)e/- (9)
/-= 1
Умножив обе части равенства (9) скалярно на ег, получим
U] (g) = ('Т (g)е/. ег). 1 =s? г,} < со. (10)
Итак, каждому оператору Т (g) поставлена в соответствие бесконечная матрица (Т(g)) с элементами t^ig). Легко показать, что при умножении операторов матрицы умножаются по обычному правилу,
|0 при ,ф1, J I 1 при I = J.
26 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
т. е. что
00
омг) = 2 ^ fe) fe)- (u)
A = I
В самом деле, по формуле (10) имеем U] (S1S2) = (Т (?,&,) e/t ef) = (Г fe) Т (g2) ef, е,) = (Г fe>) еу, Т (g,)* е,-). (12)
Скалярное произведение векторов Т (g%) е/ и Т (g1,)* е,- выражается следующим образом:
СО
(7'(g\,)e;, 7'(g'1)*ei)= ^ (7'fe) е/, еА) (7 (§7)* e;, е*) =
* = 1
00 '"¦>
= 2 (7’<?s)ey, еА) (7" (?1) еь e,) = tUt(gL) tk, (g2). (13)
k — I * «=» 1
Из формул (12) и (13) вытекает равенство (11),
3. Эквивалентные представления. Пусть T(g)— представление группы G в пространстве S, и ,4 — линейное отображение пространства ?! в пространство 8а, имеющее непрерывное обратное отображение Л-1. Тогда равенство
Q(g) = AT(g)A-1 (1)
определяет представление группы G в пространстве 2а. В самом деле, имеем в
Q Ы Q Ы = Л T(gl) А-1 А Т (&) А-1 = AT (gl) T(g2) А-1 =
= AT(g1g2)A-1 = Q(glg2).
Ясно, что указанным образом можно, исходя из данного представления T(g), построить сколько угодно «новых» представлений той же группы. Эти представления считают эквивалентными Т(g).
Итак, представления Т(g) и Q(g) группы G в пространствах ^ и эквивалентны, если существует линейный оператор А, отображающий ^ в Ра, имеющий обратный линейный оператор АЛ, и такой, что
Q(g) = AT(g)A-\
Понятие эквивалентности представлений рефлексивно, симметрично и транзитивно: каждое представление эквивалентно самому себе; если представление T(g) эквивалентно представлению Q(g), то представление Q(g) эквивалентно представлению T(g); если представление T(g) эквивалентно представлению Q(g), а представление Q(g) эквивалентно представлению R (g), то Т(g) эквивалентно R (g). Поэтому множество всех представлений группы G разбивается на классы эквивалентных между собой представлений. В дальнейшем мы не будем различать эквивалентные представления, т. е. будем изучать свойства классов эквивалентных между собой представлений.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 27
Если представления T(g) и Q(g) эквивалентны, то при соответствующем выборе базисов они задаются одинаковыми матрицами. Именно, если в пространстве представления T(g) выбрать базис |еА}, то в пространстве представления Q(g) надо выбрать
базис {^4еА}. Мы имеем
Q(g)Aek = AT(g)ek.
Поэтому, если
T(g)ek = ^]tjk(g)ej,
ТО
Q (g) Ле*_/12 tjk (g) е,- = 2 tJk (g) Aej.
Таким образом, представление T(g) и базисе {е*} имеет ту же матрицу, что и представление Q(g) в базисе {Aek}.
4. Сопряженные представления. Пусть T(g) — представление группы О в пространстве ?. Обозначим через ?' пространство, сопряженное с ?, т. е. пространство линейных функционалов в Равенство
T'(g)i(x) = i(T(gl)x), f? 8', х? 8 (1)
определяет представление группы G. В самом деле, r(ft)rfe)f(x)= T(g,)t(T(gi')x) = t(T(g^) T(g^)x) =
= ЦТ’) х) - Г (&&) f (x),
и потому
T'(gi) Г(й)= T'(gigd.
Представление T’(g) называют сопряженным представлению T(g).
Выберем в пространстве 2 представления Т(g) базис {е,} и обозначим через fk такой линейный функционал, что \k (е;)= bki. Линейные функционалы {Ы образуют базис в пространстве 8', называемый биортсгональным базису {е,}. Мы докажем сейчас следующее утверждение.
Если матрица представления T(g) в базисе {е,} равна (t{j(g)), то матрица сопряженного с ним представления в биортогональ-ном базисе имеет вид (1)). Иными словами, она получается из матрицы (tij(g)) транспонированием и заменой g на g~r.
В самом деле, в силу биортогональности базисов имеем
Г (g) tj (е,) = tj (T(g-') еА) -fy(2 tik (S l) e,0 =