Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что если представление Т (g) приводимо, то в соответственно выбранном базисе матрица этого представления имеет вид
Именно, если инвариантное подпространство 8) имеет конечную размерность k, то базис {е,} в 2 надо выбрать так, чтобы векторы {е,-}, 1 ^ i k задавали базис подпространства Тогда при 1 векторы T{g)tj принадлежат подпространству 8i и, следовательно, раскладываются по векторам базиса {е,}, этого подпро-
странства:
Отсюда вытекает, что при г^> к, 1 ^ k матричные элементы ttj (g)
равны нулю и, следовательно, матрица представления имеет вид (1).
Если инвариантное подпространство бесконечномерно, то занумеруем векторы базиса индексами I, — со<^/<^оо и выберем базис {е,} так, чтобы векторы {е,}, —со<^г<^0 образовали базис в 8). Тогда матрица представления T(g) в этом базисе будет иметь вид (1).
7. Разложение представления в прямую сумму. Вообще говоря, невозможно выбрать базис в пространстве приводимого представления так, чтобы матрица Л(§) в (1) п. 6 обратилась в нуль. Однако если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнительное подпространство 83, то такой выбор возможен. Подпространство называют дополнительным к 8i, если любой вектор х из 8 единственным образом представим в виде х = х, -J-xa, где х,? 8i, хг? 82 (иными словами, если и 82 порождают все пространство 8 и имеют нулевое пересечение). Пространство 8 называют в этом случае прямой суммой подпространств 8i и 82 и пишут
Итак, пусть пространство 8 представления Т(g) является прямой суммой инвариантных подпространств ?, и 82. Обозначим через Г, (g) сужение представления T(g) на и через T^(g) сужение Т (g) на (ясно, что (g) эквивалентно представлению в фактор-пространстве 8/8i). Для любого вектора х из ? имеем
T(g)x — T (g) (х, + х,2) = Т (g) xt 4-Т (g) х, = Г, (g) х, + Г2 (g) ха>
где х,? 8,, х2? 8а. Это равенство показывает, что T(g) однозначно определено заданием представлений T\(g) и Tq (g). Говорят, что T(g) является прямой суммой представлений Tx(g) и T$(g) и пишут
(1)
k
Т (g)е/ — S М?)е;-
8 =8, 4-8,.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
31
Таким образом, если пространство 2 представления T(g) является прямой суммой инвариантных подпространств ?, и то Т(g) есть прямая сумма своих сужений Г, (g) и T$(g) на эти подпространства.
Пусть пространство 2 представления T(g) разложено в прямую сумму инвариантных подпространств и Выберем базис {е,-} в ? так, чтобы векторы е,-, принадлежащие инвариантным подпространствам 1?! и ?2, задавали в них базис. При таком выборе матрица представления Т(g) примет вид
/ 'Л Or) о \
I о тли)!'
Определение прямой суммы представлений естественным образом обобщается на случай нескольких слагаемых. В этом случае при соответствующем выборе базиса матрица представления имеет вид
/ П (о) 0 ... О \
О . . . о
V 0 о . . . T„(g) /
Введем теперь понятие прямой ортогональной суммы представлений. Пусть в гильбертовом пространстве представления Т(g) есть такие попарно ортогональные инвариантные подпространства S$k, l^k<^co, что каждый элемент х из ^ разлагается в сходящийся
ОО
ряд х = 2 xk> гДе xkd В этом случае пишут
k=i
со
•&= 2е&
*=i
и говорят, что ^ является прямой ортогональной суммой инвариантных подпространств S$k.
Обозначим сужение представления Т (g) на подпространство
СО
через Tk(g). Ясно, что если х= 2 х*’ где х*^ т0
со
т (g) х = 2 тк (g) */,>
k-=\
причем Tk(g)xk? S$k. Поэтому представление T(g) однозначно определяется заданием представлений Tk(g). Говорят, что T(g) является ортогональной прямой суммой представлений Th (g) и пишут
СО
Tk(g).
k—\
32
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Если нет опасности недоразумения, то пишут просто
ОО
со
8. Полная приводимость унитарных представлений. Представление 'Г(g) называется вполне приводимым, если оно является прямой суммой неприводимых представлений. Для вполне приводимых представлений можно так выбрать базис, что матрица представления в этом базисе клегочно-диагональна:
причем на гласной диагонали стоят матрицы неприводимых представлений Tk(g) группы О (в бесконечномерном случае на главной диагонали может быть бесконечно много матриц Tk(g)).
