Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
2. Сопряженные представления 506
3. Неприводимость представлений 7>го(§)при нецелых а 508
4. Приводимость представления 7>zo(g)npH целых значениях а 510
5. Условия унитарности представления 7>!°(g) 511
6. Эквивалентность представлений 7710(g) 515
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений 515
класса 1 группы SH(n)
1. Построение базиса в пространстве 2)
2. Интегральное представление зональных и присоединенных сферических
функций
3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию
4. Вычисление присоединенных сферических функций
5. Теорема сложения для функций Лежандра
6. Теорема умножения для функций Лежандра
7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра
§ 4. Разложения представлений группы SH(n) и преобразование Фока — Мелера
1. Вводные замечания
2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на
орисферах
3. Интегральное преобразование Гельфанда — Граева
4. Квазирегулярное представление группы SH(n)
5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде § 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и
орисферические функции на гиперболоиде
1. Оператор Лапласа на гиперболоиде
2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х] = 1.
3. Орисферические координаты на гиперболоиде
4. Разделение переменных в орисферических координатах
ГЛАВА XI
ГРУППА ДВИЖЕНИЯ «-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 1. Группа М(п)
§ 2. Неприводимые представления класса 1 группы М(п)
1. Описание представлений TR(g)
2. Неприводимость представлений TR(g)
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы М(п)
1. Базис в пространстве ??(S'п^)
2. Вычисление зональных сферических функций
3. Присоединенные сферические функции
4. Теорема сложения для функций Бесселя
5. Теорема умножения для функций Бесселя
6. Производящая функция для функций Бесселя
7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя
§ 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмита
1. Многочлены Эрмита, как предел многочленов Гегенбауэра
2. Некоторые свойства многочленов Эрмита
3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита
4. Преобразование Фурье функций е 1 Нп(х)
5. Предельный переход по размерности для группы М(п)
Литература
Примечания и литературные указания Указатель важнейших обозначений Предметный указатель
515
517
518 520
523
524
525
526
526
527
528
529 534 537
537
538
540
541
543
544 544 546 546
546
547
549
550
551
552
553
554
554
556
559
560
561 563 576 580 582
Посвящается Израилю Моисеевичу Гельфанду
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге теория специальных функций излагается с теоретико-групповой точки зрения. С первого взгляда теория специальных функций представляется хаотическим набором формул: помимо того, что существует необозримое множество самих специальных функций, для каждой из них в настоящее время найдено много всевозможных дифференциальных уравнений, интегральных представлений, рекуррентных формул, теорем сложения и т. д. Установить какой-либо порядок в этом хаосе формул кажется совершенно безнадежной задачей.
Однако развитие теории представлений групп дало в настоящее время возможность охватить теорию наиболее важных классов специальных функций с единой точки зрения. Отметим, что оценка важности отдельных классов специальных функций сильно изменилась за последнее столетие. В середине и второй половине XIX века наиболее интересными считались эллиптические и связанные с ними функции. Однако, как отметил в одном своем выступлении Ф. Клейн (см. [77]), существует другой класс специальных функций, по меньшей мере столь же важный ввиду их многочисленных приложений к астрономии и математической физике — это гипергеометрические функции. Развитие математики за истекшее время подтверждает мнение Клейна — гипергеометрическая функция и ее различные частные и вырожденные случаи — функции Бесселя, Лежандра, ортогональные многочлены Якоби, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т. д. — играют все большую роль в самых разных отделах математики и ее приложений. Этот класс специальных функций часто называют специальными функциями математической физики. Он-то и поддается теоретико-групповой трактовке.
Связь между специальными функциями и представлениями групп была впервые открыта Э. Картаном (см. [244]). (Впрочем, еще ранее были установлены связи теории специальных функций с теорией
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
инвариантов, являющейся одним из аспектов теории представлений групп.) Значительную роль в исследовании этих связей сыграло применение теории представлений в квантовой механике.
