Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Гармонический анализ на группах связан с разложением функций на группах и однородных пространствах по матричным элементам представлений. Поскольку эти матричные элементы выражаются через специальные функции, то получаются разложения в ряды и интегралы по специальным функциям. Это приводит к теоретико-групповой трактовке некоторых интегральных преобразований, встречающихся в математической физике (преобразовании Мелера — Фока, Ганкеля, Конторовича — Лебедева, Олевского и др.), а также разложений в ряды по специальным функциям. Теоретико-групповая точка зрения позволяет естественным образом перенести на такие разложения обычный гармонический анализ — теорию положительно определенных функций, формулу Планшереля и т. д. При конкретном гармоническом анализе на группах оказывается полезным метод орисфер, развитый И. М. Гельфандом и М. И. Граевым [134], [141], [142].
Другие интегральные преобразования, связанные с теорией представлений, возникают при записи самих оператороз представлений, как интегральных операторов. Ядра этих операторов выражаются через специальные функции. В этом случае формулы обращения связаны с тем, что операторы 7'(g) и T(g~l) взаимно обратны.
Теоретико-групповое истолкование специальных функций позволяет находить их естественные обобщения. Например, рассматривая вместо вещественных матриц второго порядка матрицы с элементами из дискретно нормированного поля, И. М. Гельфанд и М. И. Граев получили специальные функции на таких полях [143]. На этом пути возникают и специальные функции матричного аргумента (другой подход к этим функциям связан с изучением однородных конусов; см. [158]). Возникающие таким путем специальные функции обладают многими свойствами специальных функций числового аргумента. С их помощью можно строить гармонический анализ на группах матриц с ^-адическими элементами и во многих иных случаях, не охватываемых классическим анализом.
Наконец, как уже говорилось, в теории представлений возникают новые специальные функции, изучение которых приводит к новым соотношениям и для обычных функций. В частности, здесь, по-види-мому, появляются ортогональные вектор-функции с многочленными элементами.
ГЛАВА I
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Эта глава носит вводный характер. Она содержит основные понятия и результаты теории представлений групп, которые будут использованы в этой книге. Кроме того, в ней показано, как строятся представления групп преобразований, а также рассмотрена связь между собственными функциями инвариантных операторов и теорией представлений групп. Наконец, в конце главы изучены матричные элементы неприводимых унитарных представлений компактных групп. Там показано, что эти элементы образуют полную ортогональную систему функций на группе относительно инвариантной меры. Этим устанавливается связь между теорией представлений групп и ортогональными разложениями.
§ 1. Основные понятия теории представлений
1. Определение. Понятие представления группы является далеко идущим обобщением понятия показательной функции. Показательную функцию еах можно определить как непрерывное решение функционального уравнения
f(x+y)=f(x)f(yl (1)
удовлетворяющее начальному условию /'(0) = а.
Обобщая это уравнение на любую группу О, приходим к рассмотрению скалярных функций на группе Q, удовлетворяющих уравнению
/(ftft)=/(ft)/(ft)- (2)
Однако для некоммутативных групп таких функций слишком мало, так как из равенства (2) следует, что для них должно выполняться соотношение
/ (ftft) =/ (ft) / (ft) =/(ft) / (ft) =/ (ftft)-Поэтому скалярных функций, удовлетворяющих уравнению (2), недостаточно, чтобы по ним можно было разложить произвольную функ-
цию F(g) на группе О.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
23
Чтобы получить достаточно богатый запас решений уравнения (2), надо перейти от скалярных функций к функциям, значениями которых являются матрицы или линейные преобразования. Поскольку умножение матриц некоммутативно, запас решений такого вида достаточно велик. Таким путем приходим к рассмотрению решений функционального уравнения
Т (ftft) = Т Ы Т ы,
где gx и g% — элементы данной группы О, a T(g) — функция на этой группе, принимающая значения в множестве линейных преобразований некоторого линейного пространства 2. Эти решения и называют представлениями группы О. Мы будем в дальнейшем рассматривать представления непрерывных групп, т. е. групп, в которых тем или иным образом определено понятие сходимости последовательности элементов. В этом случае потребуем, чтобы операторы Т (g) непрерывно зависели от g, т. е. чтобы из lim gn = g вытекало
п —*¦ со
lim T(gn)=T(g). Разумеется, требование непрерывности представ-
п —*¦ 00
ления зависит от того, как определена сходимость операторов T(g) (например, можно говорить о слабо непрерывных, сильно непрерывных представлениях и т. д.). Мы будем требовать, кроме того, чтобы все операторы T(g) были непрерывными в 2, т. е. чтобы из lim хп = х
