Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Все коэффициенты представлений для вращений вокруг оси Z также принимают особенно простой вид. Вращение на угол а вокруг оси Z соответствует в гомоморфизме унитарному преобразованию Uj (а); коэффициенты соответствующей матрицы представления даются выражением (15.25). Матрица в соответствующая вращению {а, 0, 0}, является поэтому диагональной матрицей
с диагональными элементами ехр(—Ija), ехр(—l(J—1)а)..................
ехр (—|— /(у—1)а), ехр(/уа). Тот же самый результат получается
непосредственно из (15.27), если положить p = f = 0. Матрица
2>(Л({а. 0. 0}) уже была явно представлена формулой (15.6), которая применима теперь не только при целых I, но и при полу-целых у. Это также относится к (15.8).
Характер матрицы является следом вращения на
угол ср:
)
xw(cp)= 2 -]
(1 —|— 2 cos ср —|— .. . —|— 2 cos yep (_/ целое).
— I 1 3
I 2 cos -д-ср -)-2cos-^- ср -j- ••• -j- 2 cos y<p (у полуцелое).
(15.28)
Трехмерная группа чистых вращений
203
Регулярные представления включают только те j, для которых UW)(—l) = U(^(u1(2it)) есть положительная единичная матрица. Из (15.25) видно, что это имеет место, когда [i целое, т. е. когда j целое. Тогда совпадает с определенным в п. 1 настоящей главы; это также проявляется в равенстве характеров.
При полуцелых j представление двузначно; вращение {оф^} соответствует матрицам ±?)(;*( {ар-у}), Это не означает, что знаки элементов матриц 2)(-^ можно менять по отдельности; может изменяться лишь знак всей матрицы, или знаки всех элементов одновременно. Вращение Ru соответствует двум унитарным матрицам и и —и, причем каждой из них соответствует одна матрица U(^(u) и U°-)(— и); при полуцелых j вторая из них равна —U(;*(u). Только эти две матрицы, и никакие другие, соответствуют в вращению Ru. В действительности, двузначные представления вообще не являются представлениями. Однако они понадобятся для изложения теории спина Паули.
Теория представлений группы вращений была развита Шуром. Двузначные представления впервые получил Г. Вейль.
11. Дадим теперь несколько первых представлений в явном виде. ?)(0) (#) = (!). а &'!2\R) дается выражением (15.16). Следующее представление &l\R) имеет вид
l_+cosjje_,T e-uLz±°llen
2 У 2 2
$(1> ({<%}) =
-sinpe-;T cos{3 —sin [Зегт
1 ^1 + -со^.егт
2 У 2 2
еы
(15.29)
В этом соотношении тригонометрические функции половинных углов выражены через функции целых углов.
Представления групп вращения, по крайней мере однозначные, привычны для физиков, так как они дают формулы преобразований для векторов, тензоров и т. д. После преобразования к новой системе координат новые компоненты вектора или тензора являются линейными комбинациями компонент в старой системе координат. Если обозначить компоненты в старой системе через Та (а может означать совокупность нескольких индексов), то компоненты Т’а в новой системе координат равны
= (15-30)
а
где явно указана зависимость коэффициентов преобразования от ориентации R новой системы координат относительно старой. Если мы еще
204
Глава 15
раз переходим к новой системе координат, например, с помощью вращения S, то
К = 2 D (Vp = 2 D (•% D <Я)р. Тт (15.31)
р р®
Теперь Т" являются компонентами тензора в системе координат, полученной путем вращения SR, так что мы имеем
T" = ^D(SR)zaTa. (15.32)
Поскольку (15.31) и (15.32) выполняется для произвольных значений компонент тензора TQ,
D (SR)za = 2 D (S)Z( D (Я)р„ D (SR) = D (S) D (R). (15.33)
p
Таким образом, матрицы преобразования компонент векторов и тензоров Образуют представление группы вращений.
Так, в частности, матрицами преобразования векторов являются сами матрицы R, образующие представление, своей группы. Это представление эквивалентно представлению ?)^. „Матрицей преобразования'1 для скаляров является
Однако представления, принадлежащие тензорам, которые встречаются наиболее часто, не являются неприводимыми, так как можно образовать такие линейные комбинации этих тензорных компонент, которые преобразуются лишь между собой. Эти приводимые представления преобразуются к приведенному виду с помощью матриц, образующих эти линейные комбинации из первоначальных компонент.
Рассмотрим, например, тензор второго ранга с компонентами Тхх, Тху, Тxz< Тух, Туу, TyZ, Tzx, Tzy, Tzz. Этот тензор можно записать в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Шестью, компонентами первого являются Тхх, Туу, Tzz, Тху -f Тух, Тгх-\- Txz, Tyz-\- Тгу\ тремя компонентами последнего будут Тху — Тух, Tyz—Tzy, Tzx—Тхг. Представление для антисимметричного тензора эквивалентно представлению и неприводимо, чего нельзя сказать о представлении для симметричного тензора. Существует одна линейная комбинация компонент Т — Тхх-\- Туу + Тгг, которая остается инвариантной. Остающиеся пять
