Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Трехмерная группа чистых вращений
193
после преобразования с и это дает
uq (г, S) q+u+ = и (Rqr, S) uf = (R„Rqr, S) = (Ruqr, S),
если снова воспользоваться соотношением (15.11), заменяя в нем г на Rqr, а и на uq. Таким образом, между группой двумерных унитарных матриц с определителем -|-1 („унитарной группой") и трехмерными вращениями существует гомоморфизм; это соответствие задается соотношениями (15.11) или (15.12). Заметим, однако, что до сих пор мы еще не показали, что гомоморфизм существует между двумерной унитарной группой и полной группой вращений. Это означало бы, что Ru включает все вращения, когда и покрывает всю унитарную группу. Это будет доказано несколько ниже. Следует также заметить, что гомоморфизм не является изоморфизмом, так как одному и тому же вращению соответствует более чем одна унитарная матрица. Подробнее это мы также увидим ниже.
Прежде всего примем, что и есть диагональная матрица Uj(a)
1т. е. мы полагаем Ь~ 0 и по причинам, которые будут ясны
гсЛ
позднее, а — е 2 /. Тогда |а|2=1 и а вещественно,
о \
4»= !. • (15.14а)
\ 0 е+2 “/
Из (15.12) видно, что соответствующее вращение
(cos a sin a 0\
— sina cosa Oj (15.14a')
0 0 1/
является вращением на угол а вокруг оси Z. Предположим далее, что и вещественна,
/с os±p — sin±p\ u2 (Р) = , , • (15.146)
\sin ~2 Р cos-2 Р/
Согласно (15.12), соответствующее вращение
/cos{3 0 —sin р\
RUj = ( 0 1 0 ) (15.146')
Vsin р 0 cos р/
является вращением на угол р вокруг оси К. Произведение трех
унитарных матриц Uj (a) u2 (Р) Uj (7) соответствует произведению
194
Глава 15
вращения на угол а вокруг оси Z, вращения на угол р вокруг оси Y и вращения на угол 7 вокруг оси Z, т. е. вращению с углами Эйлера а, р, у. Отсюда следует, что соответствие, определенное соотношением (15.11), не только указывает трехмерное вращение для каждой двумерной унитарной матрицы, но и по крайней мере одну унитарную матрицу для каждого чистого вращения. В частности, матрица
соответствует вращению {а, р, 7}. Таким образом, гомоморфизм является действительно гомоморфизмом унитарной группы на полную трехмерную группу вращений.
Остается еще открытым вопрос о кратности гомоморфизма, т. е.
о том, сколько унитарных матриц и соответствуют одному и тому же вращению. Достаточно установить, сколько унитарных матриц и0 соответствуют тождественному элементу группы вращений, т. е. преобразованию х' = х, у' — у, г' — г. Для всех и0 этого частного вида тождество u0huo = h должно выполняться для всех h; это может быть только в том случае, если и0 является постоянной матрицей (Ь = О и а = а* вещественно) и0 = (+1) (так как Jа|2 —J— \b\2= 1). Таким образом, две унитарные матрицы (-(-1) и (—1), и только они, соответствуют тождественному элементу группы вращений. Эти два элемента образуют инвариантную подгруппу унитарной группы, а те элементы (и только те), которые входят в один и тот же смежный класс по инвариантной подгруппе, т. е. и и —и, соответствуют тому же вращению. То, что и и —и действительно соответствуют одному и тому же вращению, можно непосредственно видеть из (15.11) или (15.12).
С другой стороны, легко видеть, что в тригонометрические функции в (15.15) входят только половинные эйлеровы углы. Углы Эйлера определяются вращением лишь с точностью до целого числа 2тс, а половинные углы Эйлера—с точностью до целого числа те. Тогда тригонометрические функции в (15.15) определяются с точностью до знака.
Таким образом, мы получили важный результат: имеется двузначный гомоморфизм группы двумерных унитарных матриц с определителем 1 на трехмерную группы чистых вращений. Существует
• 1 о
\ег sin у р • е
Трехмерная группа чистых вращений
195
взаимнооднозначное соответствие между парами унитарных матриц и и —и и вращениями Ru, притом так, что из uq = t следует также, что RuRq = Rt; наоборот, из R„Rq = Rt следует, что uq = ± t. Если унитарная матрица и известна, то соответствующее вращение Ru получается проще всего с помощью (15.12); наоборот, унитарная матрица для вращения {а, р, 7} находится наиболее прямым путем из (15.15).
Представления унитарной группы
б. Полученный только что гомоморфизм устанавливает тесную связь между представлениями рассматриваемых двух групп. Из каждого представления D(#) меньшей группы, т. е. группы вращений в рассматриваемом случае, можно получить представление U(u) унитарной группы, как мы уже упоминали в другой связи в гл. 9. При этом матрица U(u) = D(Ru) представляет все элементы (и и — и) второй группы, которые при гомоморфизме соответствуют одному и тому же элементу Ru первой группы. Так, в частности, матрица тождественного преобразования D(?) соответствует двум унитарным матрицам 1 и —1. Наоборот, если все представления унитарной группы известны, то можно выбрать такие, в которых одна и та же матрица представления U (u) — U (— и) соответствует обеим матрицам и и — и. Каждое из этих представлений позволяет образовать представление группы вращений, есл 1 матрицу D (Ru) = U (и) = U (— и) сопоставить вращению Ru. Таким путем можно получить все представления группы вращений.
