Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, пусть представление U(u) унитарной группы неприводимо. Элемент u*=—1 коммутирует со всеми элементами группы; следовательно, U(—1) должна коммутировать со всеми U (и). Поэтому, в соответствии с общей теоремой о неприводимых представлениях, она является постоянной матрицей. Так как (—1)2=1, квадрат этого элемента группы должен быть представлен единичной матрицей1) U(l). Тогда
U(— 1) = + U(1) или U(—1) = —11(1).
Представления, в которых U(—1) = —(— И (1), называются четными представлениями. В четных представлениях U(—u) = U (-1)-• U (u) = U (1) • U (u) = U (u), т. e. одна и та же матрица всегда соответствует двум элементам и и — и. Поэтому четные предста-
') Матрица U (1), соответствующая тождественному элементу группы, является единичной матрицей с размерностью представления. Мы пользуемся символом U (1) вместо более простого символа 1, чтобы избежать смешивания с тождественным элементом 1 унитарной группы, который всегда является двумерным.
196
Глава 15
вления дают регулярные представления группы вращений, которые все уже известны из п. 1 настоящей главы.
Представления, в которых U(—1) = —11(1), называются нечетными представлениями. В нечетных представлениях U(—u) = = И (—1) И (и) = — И (и); элементам, отличающимся знаком, соответствуют матрицы противоположного знака. Нечетные представления унитарной группы не дают регулярных представлений группы вращений, но дают лишь „двузначные" или „полуцелые" представления, в которых не одна матрица, а две матрицы U (и) и U(—u) = — U(и) соответствуют каждому вращению RU = R_U. Эти две матрицы отличаются знаками их элементов.
Одно нечетное представление унитарной группы образуется самой группой: U (и) = и.
В соответствующем „двузначном" представлении группы вращений IK'W вращение (а, р, 7} соответствует той матрице u = U(u), которая соответствует R в гомоморфизме. Таким образом, согласно (15.15),
/1\ (' е 2 cos -i- р • е 2 т —е 2 * sin р • е2 ^
®Ы(|«.ЕИ]) = ± . , 2 , , 2 ,
^е2 sin-^p-e 2 т е2 acosyP-e2
(15.16)
„Первые строку или столбец обычно называют — V2-mh строкой или столбцом; вторые--------^/г-ми строкой или столбцом. Выраже-
ние (15.16) дает нам первое двузначное представление группы вращений.
Для двузначных представлений не всегда выполняется равенство 1>(#)•!>(5) = %)(RSy, гарантируется лишь равенство !>(#)• ?>(*$) = = ± ?>(RS), так как матрицы представления определяются лишь с точностью до знака. Более того, невозможно определить знаки всех матриц таким образом, чтобы был справедлив простой закон перемножения однозначных представлений. Таким образом, двузначное представление не имеет строения вещественного (однозначного) представления, в котором знаки просто оставлены неопределенными. Это легко видеть, например, из (15.16): вращению на угол тс вокруг оси Z соответствует матрица ± isz\ квадрат этой матрицы,
— 1= — s2, соответствует вращению на угол 2тс. Но такое вращение вообще не является собственно вращением, так как все остается без изменения; оно совпадает с тождественным элементом группы. Поэтому единичная матрица также должна соответствовать ему; сделать это представление однозначным путем выбора знаков в (15.16) невозможно.
Трехмерная группа чистых вращений
197
6. Определим теперь неприводимые представления двумерной
унитарной группы.
Рассмотрим однородный полином п-й степени относительно переменных е и С. Если мы произведем унитарное преобразование переменных
е' = as +
С' = — Ь*е + а%, (15.17)
то снова получим однородный полином п-й степени. (Хотя это справедливо для произвольных линейных преобразований, мы ограничимся унитарными преобразованиями.) Поэтому п-\- 1 полиномов г", гл_1С, гл_2С2.......гСл_‘, Сл принадлежит («+ 1)-мерному
представлению унитарной группы. Чтобы сразу перейти к привычным обозначениям для группы вращений, положим n = 2j', тогда размерность представления будет равна 2j-\-\, причем j может быть либо целым, либо полуцелым'). Пусть полином имеет вид
J+v-ri-v-
/„(в. С)= , (15.18)
11 fU + v-YU-v-V-
где (J. может принимать 2/+ 1 значений —J, —/ + 1, —У + 2..............
j—2, j—1, j; эти значения являются целыми для целых J и полуцелыми — для полуцелых /. Постоянный множитель [(у + (j.)!(7 — придан произведению поскольку,
как мы покажем, он делает представление U(^ для 2у —|— 1 функций (15.18) унитарным.
Построим теперь2) произведение Pu/p.(s, С) в соответствии с равенством (11.19):
P„/,(*. С) = /,(Л-К. + =
(15.19)
Чтобы выразить правую часть в виде линейной комбинации полиномов / разложим ее по формуле бинома; она примет вид
