Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим уравнение для гармонических полиномов от двух переменных
(/ (?)) • (/ (?')) = (/ (?')) • (/ (ср)) = (/(? + ?')).
и, таким образом,
/(ср) = е‘>.
(.еimt).
О при тФ т!
при т — т!
d2f(x, у) . d2f (х, у) Л дх2 ду2
(14.12)
Ясно, что оно инвариантно относительно всех преобразований (14.6). Далее, решение уравнения (14.12), являющееся однородной функцией степени т относительно переменных х и у, преобразуется
178
Глава 14
оператором Ря [где R — преобразование вида (14.6)] в полином того же вида, так как преобразование P# линейно относительно переменных х и у:
Р{<р, dy f (х coscp-)-у sin ср, —dx sin cp+dy coscp) = f(x, y) (14.13) или, поскольку {cp, d) 1 равно {—dcp, d},
P{T, d}f (x, y) = f (xcos(— rfcp) —)—у sin(— dcp), — xd sin (— rfcp) —(— -\-yd cos(—d<f)) = f (x coscp — ydsincp, x sin cp-)- yd coscp). (14.14)
Таким образом, если f(x, у) является однородной функцией т-й степени, то тем же свойством обладает и Р*/.
Уравнение (14.12) совпадает с одномерным волновым уравнением с мнимой скоростью I. Его общее решение имеет вид
f(x, y) = f-(x — ty) + f+(x + ty). (14.15)
Если / (я, у) — однородная функция степени т относительно х и у, то /+ и /_ должны (с точностью до постоянного множителя) определятся выражениями
f-(x — iy) = (x — iy)m, f+(x-\-iy) = (x-\-iy)m. (14.16)
Представление 3<m) ({«p. d}), принадлежащее этим функциям, двумерно. Его первый столбец (—) определяется с помощью (11.23) и (14.14);
Р{? ,dyf-(x, y) = f_(x coscp — ydsincp, x sin cp -(- yd cos cp) =
= [(je cos cp — yd sin cp) — I (je sin cp -(- yd cos cp)]m = = [л: (cos cp — i sin cp) — iyd (cos cp — i sin cp)]m =
= (x — lyd)me~im.
Будучи записанным через коэффициенты представления, это дает
P{bd}f-(x, y) = 3(m)({cp. <*})__/_+3(m) ({ср. d))+_f+.
Следовательно, эти коэффициенты даются выражениями
3(и)({?. 1 3(т) ({?.!})+- = о,
3(т)({ср, -1})__ = 0, 3(т) ({ср, -1})+_ =
Другой столбец (-(-) может быть определен тем же способом через функции /+. Матрица 3<m^ ({ср. 1}). соответствующая в этом представлении чистому вращению на угол ср, оказывается равной
/g-lmr о \
3<m,((<P. ')) = ( о (К-IS)
Группы вращений
179
где мы сначала записали строку (или столбец) (—), а затем строку (или столбец) (-)-). Матрица, соответствующая элементу группы (14.2а), равна
Функция /_ принадлежит строке (—) (или первой) матрицы 3 т I функция /+ — строке (-(-) (или второй).
Эти представления неприводимы и различны при т= 1, 2, 3, .... Только диагональная матрица коммутирует с (14.18), но никакая диагональная матрица, кроме постоянной матрицы, не коммутирует с.(14.18а). Матрицы (14.6) являются, разумеется, также „представлением “ их собственной группы. Это представление эквивалентно частному представлению т~ 1 в (14.18), (14.18а); матрица, использованная в (14.5), преобразует (14.6) к виду (14.18), (14.18а).
Следует заметить, что (14.18) и (14.18а) также осуществляют представление при т = 0. Однако оно не является неприводимым, так как в этом случае всякая матрица коммутирует с (14.18); следовательно, в этом специальном случае мы можем диагонали-зовать (14.18а) и разделить это представление на две неприводимые компоненты
6. Мы нашли теперь все представления двумерной группы вращений и отражений. Они задаются формулами (14.18) и (14.18а) при т= 1, 2, 3, ... и являются двумерными; при т = 0 и т = 0' они представлены выражениями (14.19) и (14.20) и являются одномерными.
Коэффициенты представления 3(т)({<р, ^})±± образуют полную систему функций в пространстве ср и d. Это значит, что всякую функцию ?(ср, d) (ср изменяется от —тс до -f-rc. a d равно либо +1, либо —1) можно записать в виде их линейной комбинации. Функ-
вательностью 1, ехр(—Zcp), ехр(/ср), ехр(—2г'ср), ехр (2гср), .. . при d= 1 и исчезают при d = —1; с другой стороны, функции
"2- (3(0) — 3<0 0, 3+-, 3-+, 3 + -. 3- + , ••• равны нулю при d= 1
и, следовательно, равны 1, exp (— Zcp), exp (/ср), ехр (— 2/ср), ехр (2/ср), .. . при d = —1. Функция g(ср, 1) может быть выражена в виде линейной комбинации первого набора, a g(ср, —1) — второго.
Из того обстоятельства, что рассмотренные матричные элементы образуют полную систему в пространстве параметров, следует, что,
(14.18а)
и
3(0)({<Р. 1]) = (1). 3(0)({<Р. -1]) = (1) (14.19)
3(0,)({ср. 1}) = (1). 3((П({?. —!}) = (—О- (14.20)
. задаются последо-
180
Глава 14
кроме (14.18), (14.18а), (14.19) и (14.20), не существует других неприводимых представлений двумерной группы вращений.
