Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
152
Глава /3
циклов Aj = (ij, А2 = — (ij.....Ap = jxp — М-р_j (при Aj>. ..
. ,.^-A и Aj —|— >^2 —|— ... -f-Ap = jjbp = n) одинаковы, то эти перестановки принадлежат одному и тому же классу; в противном случае это не так. Поэтому число классов равно числу различных возможных длин циклов, числу последовательностей чисел Aj, Aj, ..., Ар, удовлетворяющих условиям и Aj —(— Ад —... —Ар = п. Это число, число возможных разбиений числа п на целые положительные слагаемые независимо от порядка1), называется „числом подразделений" числа п. Согласно гл. 9, число различных неприводимых представлений равно числу классов и, следовательно, числу подразделений числа п.
Например, симметрическая группа четвертой степени (порядка 24) имеет пять различных классов. Каждый из следующих элементов представляет один класс: Е = (1) (2) (3) (4); (1 2) (3) (4); (1 2) (3 4); (1 2 3) (4); (1 2 3 4). Поэтому эта группа должна иметь пять неприводимых представлений. Симметрическая группа третьей степени имеет три класса: Е = (1) (2) (3); (1 2) (3); (1 2 3), соответствующих трем неприводимым представлениям, уже обсуждавшимся в гл. 9.
Единичные циклы часто опускаются. Например, (1 2)(3)(4) записывается в виде (1 2).
2. Простейшими перестановками, если не считать тождества, являются те, которые просто меняют местами два элемента. Такая перестановка называется транспозицией', с помощью циклов ее можно записать в виде (kl). Каждую перестановку можно записать в виде произведения некоторого числа транспозиций. Например, перестановку, состоящую только из одного цикла, можно записать в виде
(ajctj ... ax) = (a,a2) (aja3) . . . (ajGtx).
Ясно, что то же самое верно для произведения нескольких циклов и, следовательно, для всякой перестановки.
Понятие о четных и нечетных перестановках играет важную роль в теории определителей. Значение определителя
ап а12 ... а1п
а2\ а22 • • • а2п
ап\ ап2 • • • апп
равно сумме п! произведений: 1
I aik I — 2 e(“i“2 ¦¦•an )al“ia2ct2 • . • anan>
‘) Ясно, что для числа систем чисел л безразлично, игнорируется лч порядок или рассматривается только один порядок.
Симметрическая группа
153
где aja2 . .. ап пробегают все п\ перестановок чисел 1,2..........п
и равно +1 или —1 в зависимости от того, является
/12 ... п\
ли перестановка I четной или нечетной, т. е. в за-
' а1 а2 ¦ а„/
висимости от того, может ли она быть записана в виде четного или нечетного числа транспозиций. (Перестановку можно разложить на транспозиции различными способами, но разложение определенной перестановки приводит либо всегда к четному числу, либо всегда к нечетному числу транспозиций.)
Произведение двух четных перестановок есть снова четная перестановка, так как ясно, что она может быть записана в виде произведения такого числа транспозиций, какое содержат обе перестановки вместе. Четные перестановки образуют подгруппу, знакопеременную группу. Индекс знакопеременной группы равен 2, поскольку между четными или нечетными перестановками можно установить взаимнооднозначное соответствие, например, путем умножения на транспозицию (1 2). Знакопеременная группа является инвариантной подгруппой симметрической группы; элементы, сопряженные четным перестановкам Р, снова представляют собой четные перестановки 5 lPS, так как они могут быть записаны как произведение удвоенного числа транспозиций, входящих в 5, и числа транспозиций, равного их числу в Р.
Цикл (aja2 ... ax) = (aja2) (a^g) .. . (a^) может быть записан как произведение X — 1 транспозиций. Поэтому перестановка с длинами циклов
X,, Х^, ..., Хр (Xj -)-Х2 —... —(— Хр = п)
может быть записана в виде произведения Xj—1+Х^—1+ ... ... +Хр—1 транспозиций. Для всех элементов знакопеременной группы среди чисел X — 1 должно встречаться четное число нечетных чисел, а, следовательно, среди чисел Хг, Х^, ..., Хр должно быть четное число четных чисел. Перестановки знакопеременной группы содержат четное число циклов четной длины (циклов с двумя, четырьмя и т. д. элементами).
Фактор-группа знакопеременной группы имеет порядок 2. Исходя из ее двух неприводимых представлений, можно получить два представления полной симметрической группы путем сопоставления матрицы (1) как элементам знакопеременной группы, так и элементам ее смежного класса (нечетным перестановкам) или путем сопоставления матрицы (1) элементам знакопеременной группы и матрицы (—1) элементам ее смежного класса. Первое соответствие дает тождественное представление D(0)(#) = O). второе — представление D(?) = (l), D(S) = (—1), называемое
154
Глава 13
антисимметричным представлением D(0) (R) = (гр). Как тождественное, так и антисимметричное представления одномерны.
3. Все остальные представления симметрической группы имеют размерность больше единицы. В одномерном представлении транспозиция (12) должна соответствовать либо матрице (1), либо (—1), так как квадрат этой матрицы должен быть единичной матрицей (1). Однако в первом случае каждая транспозиция в представлении соответствует (1), а во втором — каждая соответствует (—1), так как все транспозиции находятся в одном и том же классе и должны поэтому иметь один и тот же характер во всяком представлении. Но матрицы, соответствующие транспозициям, определяют все представление, так как все элементы группы можно записать в виде произведения транспозиций. Таким образом, в первом случае должно быть получено тождественное представление, а во втором — антисимметричное.
