Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
S \ S
Но это равенство выполняется тождественно, как легко видеть, применяя Рд-i к обеим его частям и подставляя Dy)(/?) = = Dy) Поскольку Dy) образуют представление, это дает
и суммирование справа можно выполнять по R lS вместо суммирования по 5. Поэтому для всякой fx\ удовлетворяющей (12.3), равенство (12,3а) определяет функции-партнеры, так что (12.1) удовлетворяется для всего набора.
2. Линейная комбинация af[J)-\-bg[J) функций /(/' и g[J\ каждая из которых принадлежит х-строке представления D^', также принадлежит той же строке этого представления. Это следует непосредственно из линейности выражения (12.3) или из определения (12.1).
3. Если D(1)(/?), D(2>(/?).Dw(/?)—все неприводимые пред-
ставления группы операторов р^, то каждая функция F, к кото*
138
Глава 12
рой применяется оператор Рд, может быть записана в виде суммы
^ = 2 2 №. (12.4)
7=1 х=1
где /У) принадлежит х-й строке представления D^\R).
Чтобы показать это, рассмотрим h функций F = PEF, Рa2F, Рл/.......полУчающихся в результате применения h опе-
раторов группы Рд к функции F. Если эти функции не являются линейно независимыми, можно опустить столько из них, чтобы
остающиеся функции F, F2.........F^ были линейно независимыми.
Эти А' функций „натягивают" представление группы операторов Р*. Если применить один из операторов Рд к этим функциям, то получающаяся при этом функция может быть предста-' влена в виде линейной комбинации функций F, F2, ..., Fh<. Пусть, например, Fb = PTF; тогда PrPtF = PrtF, и либо это одна из функций Ft, либо она может быть представлена в виде их линейной комбинации. Следовательно,
л'
P*F* = 2 *(?),* ^. (12.5)
/ = 1
и матрицы А (А?) образуют представление группы операторов Рд. Это соответствует свойству собственных функций порождать представление, которое обсуждалось в конце предыдущей главы. В явном виде
2 Д (?/?)„* Fn = рSj?Fb = PsP*Fb = Ps 2 д (R)tk Ft =
n l
= 22A(%A(S)BjF„
i n
и, так как функции Fn линейно независимы,
A(S)A(R) = A(SR).
Такой метод порождения представления будет играть существенную роль в дальнейшем в явиом определении неприводимых представлений симметрической группы. Путем специального выбора начальных функций F может быть получено много типов представлений, которые будут полезны для нахождения неприводимых представлений.
Если представление в (12.5) не является неприводимым, оно может быть приведено с помощью преобразования подобия, а именно С помощью преобразования, которое приводит все
Алгебра теории представлений
139
матрицы А (/?) одновременно к виду
D(I) (/?) 0
0 D(2) (R)
= *-1A(/?)«, (12.Е. 1)
где все D являются унитарными неприводимыми представлениями. Тогда, согласно п. 6 гл. 11, с помощью матрицы а можно построить линейные комбинации функций Fk, которые преобразуются операторами с матрицами (12.ЕЛ) и которые, следовательно, принадлежат различным строкам неприводимых представлений D(1), D(2), . .. Наоборот, поскольку матрица % имеет обратную, функции Fk, а тем самым и F, могут быть выражены через эти линейные комбинации. Это доказывает, что произвольная функция может быть представлена в виде суммы (12.4).
Чтобы вычислить функции f?\ входящие в (12.4) в явном виде, применим Рл к (12.4), умножим на (/?)*х и просуммируем по всем R. Тогда получим
2 °U) =2 2 2 °U) = т, <12-6>
R ]' i' R
Последнее равенство в (12.6) следует из (12.3).
Равенство (12.6) показывает, что 2 D^ (/?)« Рд • F принад-
R
лежит ч.-й строке представления D^\R) для совершенно произвольной функции F\ это можно проверить, представляя это
выражение для fx* в соотношении (12.3), которое приобретает вид
т 2 °U) ps (2 °и) р*Л=2 °и) №р^.
Подставляя SR=T в левую часть и суммируя по Т вместо S, мы видим, что левая часть совпадает с правой:
2 D'J4S?XXPs • /2 DU)(RTxxP^f\ ~ 2 DU\TR-l)l pTDu\RTxxF, $ \ R J T,R
Dm(T&Dt>'(R-%DU)(Л);_ PjF =-^(11 dU)•
22
T,R\
140
Глава 12
Здесь суммирование по R было проведено в (9.31а).
Тождество
'-222 X dU) <*)» P#F (12.6а)
j х R
имеет место для совершенно произвольной функции F, т. е. при произвольных значениях Л величин P^F. Это возможно только в том случае, если
V 1 при * =
1 0 при R ф Е,
]=\ х=1
При Я - ?, поскольку Z)W (?)хх = 1, это дает
22^=2#=>-
