Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
12. Во всей этой главе относительно операторов достаточно было предполагать, что они образуют группу и что они линейны и унитарны [например, не было использовано соотношение (11.22)]. Кроме того, было лишь предположено, что PR преобразуют собственные функции, принадлежащие некоторому собственному значению оператора Н, в собственные функции, принадлежащие тому же собственному значению. Фактически из этих предположений уже следуют уравнение преобразования (11.23) (которое мы использовали в качестве отправной точки соответствующего изложения) и то обстоятельство, что входящие в него коэффициенты образуют представление группы операторов PR.
Заметим здесь, что для операторов, играющих роль Р^ для собственных функций с учетом спина (они будут обозначаться через О^), соотношение (11.22) уже не имеет места. Более того, группа симметрии конфигурационного пространства не изоморфна группе этих операторов, а лишь гомоморфна. Тогда коэффициенты соотношения (11.23) будут образовывать представление группы операторов 0R, а не группы симметрии конфигурационного пространства. Все остальные теоремы этой главы, такие, как теорема об ортогональности собственных функций, принадлежащих различным неприводимым представлениям, остаются без изменений.
Глава 13
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
1. Элементами симметрической группы п-й степени являются
перестановки п обьектов. Порядок этой группы равен п\ Перестановка, заменяющая 1 на alt 2 на otj.........и, наконец, п на ал,
/1 2 ... п \
обозначается через I ). Это та же перестановка, что
\ai • • • ап J
(\ и I ), так как обе преобразуют каждое k в ак.
\aft[ aft2 • ¦ • аА„/
Здесь Aj, k2....kn является произвольным размещением чисел 1, 2, 3,.п. Под произведением двух перестановок
/1 2 ... п\ /1 2 ... п\
А = [ ) и В = [ „ . „ мы понимаем их после-
\®i «а - - - ®„/ \Pi Ра ¦¦¦ U
довательное применение. Перестановка А преобразует k в aft, а В преобразует это число в так что АВ преобразует k в Преобразования (11.Е.1) образуют группу, изоморфную симметрической группе п-й степени; эти преобразования переводят точку Xj, х2, .... хП в точку ха>, Хаз, ..., Xaj поэтому они соответствуют упомянутой выше перестановке А.
Существует другое обозначение перестановок. При этом перестановки „разделяются на циклы". Цикл (гхг2 ... г{) является перестановкой, которая, заменяет элемент rk следующим за ним
элементом лА+1, за исключением того, что последний элемент
цикла заменяется первым элементом rv Цикл (гхг2 ... г{) то-
(г\ г2 ... гЛ
ждествен перестановке и I . Он также эквивалентен
Va гь ••• rj циклу (/уз ... /у,) или (/у4 ... г^гхг2).
Циклы, не имеющие общих элементов, коммутируют. Напри-
мер,
/1 3 5 2 4 6 7'
(1 3 5) (2 4 6 7) = (2 4 6 7)(1 3 5) = (3 5 1 4 6 7 2
Симметрическая группа
151
Разложение перестановки на циклы является его разложением на произведение коммутирующих циклов; порядок отдельных циклов, а также начальный элемент каждого цикла, остаются пока произвольными. Разложение на циклы может быть достигнуто, если начать, скажем, с элемента 1 и поместить после него элемент, в который преобразуется 1, а затем—тот, в который преобразуется предыдущий, и т. д. Наконец, появляется элемент, преобразуемый в 1; это последний элемент первого цикла. После этого выбирается произвольно иной элемент, еще не включенный в первый цикл, и повторяется тот же процесс. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет исчерпана вся перестановка.
Например, перестановка
/1 2 3 4 5 6\
V3 4 6 2 5 \)
разделяется на циклы в виде (1 3 6) (2 4) (5), и это равно (3 6 1) (2 4) (5), а также (2 4) (5) (1 3 6), так как порядок циклов не имеет никакого значения.
Две перестановки, имеющие одинаковые числа циклов и циклы которых имеют равную длину, содержатся в одном и том же классе. Две перестановки
R = {гхг2 ... rj (/•„,+!/•„,+2 ... rj ... (/vp_,+.........../vp)
И
*-> ~ (^1^2 • • • +2 • • • • • • (Sp-p_, + l...
могут быть преобразованы одна в другую с помощью
S,s2 . . • *VAi + 1SP-i+2 • .. Sm .. • v,+i ••
v/2 • • • + i^Vi +2 • .. rh . . /vp_i+1 ..
• /V/Hi + 1,Vi+2 • .. Г* . . v.+i
\SlS2 . . • _j_2 . • v,+i ••
Это значит, что 5= TRT \ Наоборот, длины циклов любой перестановки, получающейся из R путем преобразования с помощью Т,
снова равны ц2 — ц,..........цр—
Поэтому, если мы хотим решить вопрос, входят ли две перестановки в один и тот же класс, можно поместить наиболее длинный цикл в каждой из них впереди, далее следующий по Длине и т. д., пока наиболее короткий цикл не окажется на последнем месте. Если э двух рассматриваемых перестановках длины всех
