Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Абелева фактор-группа знакопеременной группы позволяет установить весьма важное соответствие между парами неприводимых представлений. Если мы рассмотрим неприводимое представление D(ft)(/?), то из него можно построить иное представление — присоединенное представление D(ft)(/?), если оставить все матрицы, соответствующие знакопеременной группе, без изменения, а все остальные умножить на —1. Полученные таким образом матрицы
образуют представление группы, так^как D<Л)(/?) есть прямое произведение D(ft)(/?) и антисимметричного представления D(0)(/?) (которое является одномерным, так что его матрицы представляют собой просто числа):
Dw СR) = Dw (Я) X D(0) (R) = e/?Dw (R).
Присоединенные представления играют важную роль как в квантовой механике, так и в теории неприводимых представлений, и мы воспользуемся ими для вывода интересующих нас представлений.
Число различных неприводимых представлений симметрической группы равно числу подразделений числа п. Таково также число существенно различных собственных значений. Однако оказывается, что только собственные значения определенных представлений соответствуют реальным энергетическим уровням в атоме. Собственные значения других представлений не соответствуют’ существующим в действительности стационарным состояниям, а запрещены принципом, не зависящим от уравнения для собственных значений, принципом Паули. Хотя все неприводимые представления симметрической группы могут быть получены исполь-
Симметрическая группа
155
зованным здесь методом, проведем вычисления только для тех представления, собственные значения которых не запрещены принципом Паули. Мы не будем давать здесь точной формулировки этого принципа, но метод, с помощью которого будут определены интересующие нас представления, включает точно те же соображения, которые потребуются позднее для применения принципа Паули.
4. Если мы имеем систему переменных, которые могут принимать лишь одно значение, скажем, 1, то область их изменения содержит лишь одну точку, и каждая функция полностью определяется, когда ее значение в этой точке задано. В этом пространстве никакие две функции не могут быть линейно независимыми; всякая функция постоянна во „всей области изменения" и, следовательно, она кратна любой другой функции. Всякая функция в этом пространстве остается неизменной, если значения координат меняются местами, так как это означает просто замену 1 на 1. Все функции в этом пространстве принадлежат тождественному представлению.
Если мы рассмотрим п переменных s,, s2...........................s„, каждая из
которых может принимать два значения, например +1 и —1, то все пространство состоит из 2" точек, и мы можем иметь 2" линейно независимых функций, т. е. таких, которые имеют значение 1 в одной из этих 2П точек и нулевое значение во всех остальных точках. Скалярное произведение двух функций и g в этом пространстве равно
2 2 ••• 2 <pOi...........snfg(s........s„) = (<p,g).
Sl=±l i3=±l fn=±1
В пространстве одного sk (оно состоит только из двух точек
s = -)- 1 и s = —1) две функции &sA,-i и &sA, + i образуют „пол-
ную ортогональную систему"; 2" произведений этих функций
&5.<>&Л ... °i = — °2= — 1..°л = — О образуют
полную ортогональную систему в «-мерном пространстве переменных Sj, s2......sn. Нижеследующие формулы можно записать
в более удобном виде, если использовать вместо функций ,+ i и SSftj_ 1 две функции 1 и sk, которые ортогональны:
(1, Sk)= 2 l.s*= 1.-1 +1-1=0.
fA=± 1
Тогда полная система функций в пространстве Sj, s2, .... s„ состоит из 2" функций sj'sj2 ... (причем равны 0 или IV,
156
Глава 13
они могут быть расположены следующим образом:
1,
Sl> S2......Sn’
SjS2> SjS3....slsn> S2S3’ S2Si...........S2Sn........Sn-lSn’
sls2s3......Sn-2Sn-lSn’
S1S2SZ ¦ ' ¦ Sn-
Имеется1) 1 +(") + ( \ ) + (g )+•¦¦+(") = 2Л функций.
Если оператор Рд, соответствующий перестановке R, применяется к одной из этих функций, то он порождает новую функцию
от Sj, s2.....sn, которая может быть выражена в виде линейной
комбинации этих 2" функций (как это может быть сделано для любой функции этих переменных). Коэффициенты этого разложения дадут 2л-мерное представление симметрической группы. Это представление A(R) не является неприводимым, но содержит несколько неприводимых компонент. Поскольку рассматриваемые функции определены в такой узко ограниченной области, можно ожидать, что А(/?) не включает все неприводимые представления симметрической группы и что поэтому оно может быть приведено более просто, чем совершенно произвольное представление. Тем не менее только его неприводимые компоненты и их присоединенные представления являются представлениями, которые нужны в физических задачах, связанных с электронами.
Если оператор Рд применяется к одной из функций (13.1), например sasbsc, где R — произвольная перестановка, т. е. если производится „перестановка переменных”, то результат является снова произведением трех s, скажем sa'Sb'SC', и, следовательно, функцией, входящей в ту же (третью)2) строку таблицы (13.1),
