Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
— 8nG [Г00 — Zg00T00 + Tii], (9.1.54)
V2L= +ІбпСГо, (9.1.55)
V2L = - SnGbijT00. (9.1.56)
Из (9.1.53), как и ожидалось, вытекает следующее соотношение:
L=-2 Ф, (9.1.57)
где ф — потенциал Ньютона, определяемый уравнением Пуассона
V2^ = AnGT00. (9.1.58) § 1. Постньютоновское приближение
237
2
Поскольку g0B исчезает на бесконечности то решение уравнения (9.1.58) имеет вид
о
ф (х, *) = - С j d*x' tJ . (9.1.59)
Из (9.1.56) можно найти исчезающее на бесконечности решение 2
для gu:
2gtj=-2otji (9.1.60)
з
Но gio можно рассматривать и как новый векторный потенциал
gw^ti. (9.1.61)
Поэтому исчезающее на бесконечности решение (9.1.55) запишется так:
і
U (X, t) = - 4G j ^??^ d3x'. (9.1.62)
И наконец, используя (9.1.57), (9.1.58) и тождество
JL-^i VV-т.
дхг дхі 2
можно упростить (9.1.54), сведя его к следующему выражению!
i00 = — —2-ф, (9.1.63) где г); — еще один потенциал:
2 2
у2ф = -^- + 4яС[7,00 + Гі]. (9.1.64)
4
Поскольку g00 должно обращаться в нуль на бесконечности решение уравнения (9.1.64) имеет вид
Ч^х, і) — j I x-x'I [_4я
+ GT100 (*', t) + GTii (*', і)]- (9.1.65)
Координатное условие (9.1.35) налагает на <р и ? следующую связь:
4 4r + V'S = u' (9-1-66)
координатное же условие (9.1.36) выполняется теперь автоматически. В § 3 этой главы мы увидим, что благодаря законам сохранения, которым подчиняется Tiiv, уравнение (9.1.66) также удовлетворяется нашими решениями.
Подставляя (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61) и (9.1.63) в (9.1.16) -(9.1.22), получаем следующие выражения для нужных нам ком- 238
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
f« 1 (9.1.69)
2 V дхі дх» /
понент аффинной связности:
Ьоо = , (9-1-67)
дхг
Ko = -V (2*' + *)+-?-, (9.1.68)
1 IjKi__\ * дф
0x3 дхі
+ (9.1.70)
Ko = ^T' (9-1-71)
Г°ог = -^ (9.1.72)
дхг
В качестве премии мы можем вычислить еще и три дополнительных члена в аффинной связности, играющих роль в постньютоновской гидродинамике:
(9-1-73*
r°» = -g-, (9.1.74)
Г°оо = -§-+ (9.1.75)
§ 2. Динамика частицы и фотона
Прежде чем продолжить вычисление постньютоновской метрики, обратимся вновь к задаче, с которой мы начинали, а именно к вычислению ускорения свободно падающей частицы до членов порядка vklr. (Подробности применения постньютоновского приближения будут даны в § 5—9 этой главы.) Подставляя (компоненты аффинной связности (9.1.67) — (9.1.72) в (9.1.2), получаем непосредственно уравнение движения
+ vx(Vx?) + 3v-^- + 4v(vV) (9.2.1)
где V1 = dx%ldt.
Кроме этого, нам необходимо знать, как время t в гармонических координатах связано с собственным временем т, измеряемым для тела, свободно падающего со скоростью v. По определению § 2. Динамика частицы и фотона
239
имеем
(-Sl)2=-^00-2 Si0Vi-HijViVi. С учетом членов порядка у4 это приводит к выражению
(-J- )2 = 1 -[v2+ *°о] - [^oo + 2Lvi + IiJViVi],
или, используя (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61) и (9.1.63), получаем dx \2
т
рассматривать как лагранжиан одной частицы и вывести уравнения движения, исходя из известного уравнения Лагранжа
d дЬ дЬ
Слагаемые, заключенные в скобки, имеют порядок V2 и у4. Используя степенное разложение корня Vi + х, находим, что с учетом
-4
членов порядка v справедливо следующее выражение:
которое можно переписать так:
^ = I-L, (9.2.2)
где
L = -I ф2~ ^ + (9.2.3)
Поскольку величина ^(dt/dt) dt стационарна, величину L можно
і урав-жа
. _ . . (9.2.4)
dt dv» дхі
(Производную d/dt при действии на ф или ? следует брать в виде d/dt-{- v*V.) Читатель может легко проверить, что уравнение Лагранжа (9.2.4) согласуется с уравнением (9.2.1).
Постньютоновские поля можно также использовать для вычисления ускорения фотона в гравитационном поле до членов порядка V2. (Здесь v — конечно, не скорость фотона, а обычная скорость частиц с отличной от нуля массой, из которых состоит система.) Поскольку скорость фотона Ui = dxl/dt равна единице, уравнение (9.1.2) приводит к следующему выражению для ускорения:
-?- = - Ti00 - ^iJkUjUh + 2щГ%щ + О (и3). Используя (9.1.67), (9.1.70) и (9.1.72), получаем
-^r= — (1 + и2) V<? +4u (u-V<?) + 0 (P). 240
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
Заметим, что скорость фотона задается условием
О = -SrHV -jf- = 1 — u2 + 2 (1 + u2) <р + 0 (у3)
или
I и I = 1 + 2* +0(7). (9.2.5)
Следовательно, при требуемой точности в формуле для ускорения фотона можно и2 заменить единицей. Тогда
— = -2V* + 4u(u-V*)+0(y3). (9.2.6)
Несколько удобнее записать это выражение в виде уравнения для единичного вектора и == и/| и |:
-?-= G X (и X V*)+О (Б3). (9.2.7)
§ 3. Тензор энергии-импульса
Чтобы завершить программу вычислений, намеченную в § 1 этой главы, покажем, как можно вычислить тензор энергии-им-пульса Jlfiv, который служит в качестве источника гравитационного поля. Посмотрим сперва, как проявляются в постньютоновском приближении законы сохранения энергии и импульса. Законы сохранения в общем виде записываются так: T^il = 0. Более подробная запись левой части при этом имеет вид
