Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
<0> = ^ 2r3 ^ + 3 (MeGyVs ^T7F • (9.6.19)
Оба члена в (9.6.19) имеют максимум при минимально возможном значении г, т. е. при значении, равном примерно радиусу Земли Re. При этом нижний предел отношения первого, «сверхтонкого» члена ко второму, геодезическому, имеет следующий порядок:
Сверхтонкий -JeG = б
Геодезическии 3 (M^G) 12 R^2 '
так что основным эффектом является прецессия спина вокруг орбитального углового момента h, происходящая со средней частотой (в угловых секундах за год):
3 (Mafif'2 , Яд, V 5/2
(I QI) ж 2у «8;4 (-?.) . (9.6.21)
Эту величину и надо измерить [10—12, 20]. Для того чтобы детектировать малую «сверхтонкую» прецессию, удобно ориентировать спин гироскопа по нормали h к плоскости орбиты; в этом случае слагаемые в &, параллельные h, не дают вклада [см. уравнение (9.6.11)], и результирующая прецессия будет происходить как раз вокруг Jffi. Величина и направление средней результирующей прецессии равны (в угловых секундах за год)
<й)эФФ = , (9.6.22)
|<Й}эфф| = 0,055 (^)3. (9.6.23)
Для того чтобы сделать максимальным эффект этой весьма малой прецессии, необходимо расположить спиновую ось гироскопа перпендикулярно Jffi; поскольку она должна быть также перпендикулярна плоскости орбиты, наиболее выгодно вывести гироскоп на полярную орбиту, причем спин гироскопа должен быть параллелен экваториальной плоскости Земли.
Если использовать в этой задаче искусственный спутник, находящийся на эллиптической орбите, то в приведенных выше выражениях нужно везде просто заменить радиус г величиной фокального параметра L. Легко также учесть эффект возможного отклонения от эйнштейновских полевых уравнений. Для произвольной статической сферически-симметричной метрики в изотропных координатах (с а = 1) разложение Робертсона (8.3.1) § 7. Прецессия спина и принцип Маха
257
дает следующий результат:
2 2 3
SrOO= —2*, gij=— 2уф8ц, gto = 0, где ф, как обычно, есть —GMJr, а -у — безразмерная константа, которая в теории Эйнштейна должна быть равна единице. Обращаясь вновь к формулам (9.1.18), (9.1.19) и (9.1.21), мы видим, что сейчас
PO _ 1
Ho = O.
Подставляя эти выражения в (9.6.4), получаем следующее выражение для скорости изменения спина:
^=-(1 + 7) (v-S) V* — Y (v-V*) S-j-y (S-V*) v.
Как и раньше, удобно ввести следующий вектор спина, который имел бы постоянную величину:
& = (14-у*) S-V (vS).
Вектор if также прецессирует вокруг вектора й:
Taaflx^
но теперь Q задается уже таким образом:
1
Й
= -(y+t) (vxV*). (9.6.24)
Следовательно, видоизменение уравнений поля Эйнштейна, учитывающее эффект геодезической прецессии, сводится просто к умножению уравнения на множитель
1 + 2у
з •
Чтобы проследить, как сказывается на векторе й видоизменение уравнений поля Эйнштейна для системы, не являющейся ни статической, ни сферически-симметричной, необходимо знать детали новой теории. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 9 этой главы.
§ 7. Прецессия спина и принцип Маха *
Прецессия спина, рассчитанная в предыдущем параграфе, имеет замечательную интерпретацию на основе идей Эрнста Маха, обсужденных в § 3 гл. I. Напомним, что спин свободно
17—078 8 258
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
падающего гироскопа не прецессирует в инерциальной системе координат, перемещающейся вместе с гироскопом. В этом как раз и заключается смысл уравнения параллельного переноса (9.6.1). Следовательно, в другой системе, связанной, допустим, с Землей, прецессия Q гироскопа возникает исключительно из-за того, что инерциальная система, связанная с гироскопом, вращается с угловой частотой Q относительно Земли и отдаленных звезд. Это объясняет, почему Q не зависит от скорости вращения гироскопа; любой вектор, сохраняющий в инерциальной системе фиксиро ванное направление, в лабораторной системе или системе, свь занной в Землей, будет прецессировать с угловой частотой задаваемой уравнением (9.6.12).
Почему же инерциальная система, падающая вместе с гироскопом, вращается относительно удаленных звезд? Мах утверждает, что инерциальные силы возникают из-за ускорений, в том числе и из-за вращений, относительно всей материи Вселенной, и поэтому система отсчета будет инерциальной, если она не движется ускоренно относительно некоторого среднего распределения материи во Вселенной. Обычно это означает, что инерциальная система не вращается относительно удаленных звезд. Однако наблюдатель на гироскопе, вращающемся вокруг Земли, видит, что распределение массы обусловливается не только удаленными звездами, но и большим сферическим телом, называемым Землей, которое, с его точки зрения, совершает обороты вокруг гироскопа за каждые ~ 90 мин и вокруг собственной оси. Следовательно, определение инерциальных систем отсчета, связанных с гироскопом, должно содержать некоторый компромисс в ориентации гироскопа либо на отдаленные звезды, либо на Землю. В действительности гироскоп пытается вращаться в том же направлении, что и вращение и кажущееся обращение вокруг него Земли, однако он не успевает следовать за ними, и удаленные звезды всегда побеждают в этой борьбе.
