Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
дх'К дхт дха рР дх'Х д*хр (ЛК<)\
bv^ Ы> дх'» дх'* 1^+ 6яр дх'»dx-v •
Первый член в правой части — это то, что возникало бы, если бы Tuv была тензором; второй член неоднородный, делающий T^v нетензорной величиной.
Тензорный анализ позволяет самым простым образом устано-ВИТЬ СВЯЗЬ МбЖДу 1 |xv
и g?V. Заметим, что
д д / дхр
, _ д ( dxv дх" \ _ g^ '^p0 дх'* J ~
aSpa дхх дхр дх° . дЪр дх1
дхх дх'х дх'» dx'v 1 8ра ' дх'кдх'» dx'v '
д*х<> дха
+ gpo
dx'Kdx'v дх» § 5. Преобразование аффинной связности
117
а потому
д . I д , д ,
-—ггг Sm -г /v Snv- TT7K ^lv ~
дх» Sxv дхк
дхх дхр дх° / dgox . dgpx dgpo
) +
дх"* дх'» дх v \ дхр дх° дхх
д*хр дха
-Г" Zgpo -
dx'»dx'v дх'*
дх'% дхх дха (р) , дх'х д*хр
Отсюда следует
/ ^ Ч ' дх"к дхТ дх° J р Л | dxh д*хр (4 5 3)
\ M-V / дхр dx'v dx'v \ та J дхр дх»Sxv ' * ' ' '
где
J * \ e 1 ^X Г^L-1 . (4.5.4)
I pv / 2 L o.^ &rv to" J v '
Вычитая (4.5.3) из (4.5.2), видим, что величина { Д}]
является тензором, поскольку
Принцип эквивалентности говорит нам тогда, что существует специальная система координат 1,х, в которой в данной точке X эффекты гравитации отсутствуют. В этой системе на свободные частицы не действуют никакие гравитационные силы, а потому в ней исчезает rj;v, а также не может возникать никакого гравитационного красного смещения для бесконечно близких точек, так что исчезают и первые производные gJiv. Поскольку величина [Г?а — {то}] равна нулю в локально-инерциальной системе координат и поскольку эта величина является тензором, она должна исчезать во всех системах координат, следовательно,
Г-=Ц} (4-5-6)
Приведем на всякий случай другое выражение для неоднородного члена в правиле преобразования T^v. Продифференцируем тождество
дх'% дхр _ дхр дхv — v
по х'». Из этого сразу последует
дх'х дЪр дхр дха д*х'х
дхр dx'»dx'v dx'v дх» дхрдх°
(4.5.7) 118
Гл. 4. Тензорный анализ
Поэтому (4.5.2) можно записать в виде
р'/, _ дх'х дхх дха рр дхр дха дЧ'х ,, &
^v ~~ дхр дх'» dx'v та дх'у дх'а дзРдхс ¦ V • •«)
Это как раз то, что мы получили бы, выполнив обратное преобразование х' X и разрешив полученное равенство относительно Гді
Теперь мы в состоянии использовать принцип общей ковариантности, чтобы дать еще одно доказательство того, что свободно падающая частица подчиняется следующему уравнению движения:
d2x» „ц dxv dxX n //cm
IhF ^ Ix W= ' (45-9)
где
dx2 = —g^ dx» dxv. (4.5.10)
Прежде всего заметим, что уравнения (4.5.9) и (4.5.10) справедливы в отсутствие гравитации, поскольку при Г^ = 0 Hgiw = Tjiw
d*x»
dx2
0, dx2 = — Tifiv dx» dxv,
а это совпадает с уравнениями, которые описывают свободную частицу в специальной теории относительности. Далее заметим, что (4.5.9) и (4.5.10) инвариантны при произвольных преобразованиях координат, поскольку
d?x'» _ _d_ I дх'» dxv \ _ дх'» d*xv д*х'» dxx dxv
dx2 ~~ dx \ dxv dx ) ~ Qxv dx2 + Qxv дхх dx dx
тогда как (4.5.8) приводит к равенству
Г
'р, dx'a dx'x _ дх» dxx dxp д*х'» dxx dxv
ax dx dx ~~ qxv ^p dx dx BxvOxx dx~
Складывая эти два уравнения, находим, что левая часть уравнения (4.5.9) является вектором, т. е.
d2x'» „'(J, dx'v dx'x ~ХІ--Г iV*,
dx dx
дх» / Л" , „к dx° dxp
дх* \ ^t2
rSp^-^r). (4.5.11)
Таким образом, уравнение (4.5.9), так же как (4.5.10), оказывается явно ковариантным. Принцип общей ковариантности говорит нам тогда, что соотношения (4.5.9) и (4.5.10) справедливы в произвольных гравитационных полях, поскольку они действительно выпол- § 6. Ковариантное дифференцирование 119
няются в локально-инерциальных системах. Напомним аналогичное положение из § 1 этой главы, которое утверждает, что соотношения справедливы во всех системах координат, если они справедливы в какой-нибудь одной системе.
§ 6. Ковариантное дифференцирование
Мы уже отмечали, что дифференцирование тензора, вообще говоря, приводит не к тензору. Рассмотрим, например, контра-вариантный вектор V», правило преобразования которого есть
у'и = дх " Fv
dxv
Дифференцирование по х'х дает
dV'» дх» дхр dVv , дЪ'» дхр
dxv дхр дх'1-
Vv. (4.6.1)
Первый член в правой части здесь совпадает с тем, что возникло бы, если бы выражение dV»/dxx было тензором, но второй член нарушает тензорный характер dV '»/дх'х.
Хотя dV ^fdxx не является тензором, с его помощью можно построить тензор. Используя уравнение (4.5.8), находим, что
рY дх» дхр дх° „у д*х'» дхр дха -j дх'* -/т) _
Хк ~ L dxv дхх дх* ^ дхр дхс дх'% дх* J дх* ~
дх» дхр rV -а д*х'» дхр т/а .. „ 0.
-TrIp0V---—---,-T-V . (4.0.2)
dxv дх'х ра дхр дха дх'х
Складывая (4.6.1) и (4.6.2), видим, что неоднородные члены уничтожаются, и получаем
, г'Млг'к дх'» дхр IdVv , rv т/0\ ,1 аол
Таким образом, мы пришли к определению ковариантной производной
V^^ + TW*, (4.6.4)
дх
и (4.6.3) говорит о том, что есть тензор, поскольку
jt'h дх'» дхр 120
Гл. 4. Тензорный анализ
Мы можем также определить ковариантную производную от ковариантного вектора V11. Вспомним правило преобразования
