Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
!) Термины «абсолютная светимость» (absolute luminosity) и «видимая светимость» (apparent luminosity) определены на стр. 448. Они не вполне отвечают принятым в астрономии. —Прим. перев. •446
Гл. 14. Космография
расстояний, определенных путем измерения параллакса или собственного движения.
Для вычисления параллаксов и видимых светимостей нужно знать уравнения, определяющие лучи света, исходящие иа точки T1, Q1, ф1, где расположен источник, и проходящие вблизи точки г = О (фиг. 14.1). В координатной системе начало которой совпадает с источником, луч определяется очень простым уравнением
х' (р) = пр, (14.4.1)
где п — фиксированный вектор, р — положительный переменный параметр, задающий точки вдоль луча (р = 0 на источнике), и X есть 3-вектор, образованный из сопутствующих координат обычным способом:
х' ^ (г' sin 0' COS ф', г' sin 0' sin ф', г' COS 0').
Преобразование координат хк другой системе координат, в которой источник находится в точке х', получается заменой а на X1 и взаимной перестановкой х и х' в (14.2.7):
х = х' + х1 ((1-АХ'2)1/2-{1-(1-ЬЧ2)1/2}^^) . (14.4.2)
Здесь мы снова используем векторное обозначение
X== (г sin 0 COS ф, г sin 0 sin ф, Г COS 0),
а скалярное произведение определяем, как в евклидовой геометрии. Без потери общности можно взять в качестве п единичный вектор с п2 = 1. Тогда параметрическое уравнение для световых лучей, получающееся подстановкой (14.4.1) в (14.4.2), имеет вид
X (P) = np + X1 [ (1 - Ap2)1/2 - {1 - (1 - kr г)1'2} in • X1) J , (14.4.3)
где T1 = (X12)172.
Теперь мы уточним, что начало системы координат х^ находится в некоторой определенной точке Солнечной системы, такой, как центр Солнца или центр 200-дюймового зеркала на горе Пало-мар, и ограничимся рассмотрением лучей, проходящих вблизи начала координат. В этом случае единичный вектор п должен
Фиг. 14.1. Величины, используемые при вычислении параллаксов и видимых светимостей. Углы и кривизна луча света сильно увеличены. § 4. Измерения расстояний
447
смотреть почти в направлении оси —X1, т. е.
пда — X4 + ?, (14.4.4)
где x1 — единичный вектор X1Ir1 и є — малый вектор, перпендикулярный x1. (Здесь и ниже да означает, что уравнение справедливо до первого порядка по е.) Возвращаясь к уравнению (14.4.1), заметим на будущее, что | е | — это угол между световой траекторией и направлением оси —X1, измеренный в координатной системе х'^, локально-инерциальной в окрестности источника света. Подстановкой (14.4.4) в (14.4.3) и отбрасыванием членов порядка e2 получим уравнение луча
х(р) «-X1Ip (I-Zcr12)1'2-T1 (1-Ар2)1/2] + ер. (14.4.5)
Лучи подходят ближе всего к началу координат при р дагг Собственное расстояние от начала до этой точки есть прицельный параметр Ъ. Согласно (14.2.1) и (14.4.5),
Ъ да R (t0) I x (Гі) I да R (t0) Гі I e I, (14.4.6)
где to — время в момент прохождения луча мимо начала координат.
Измерения астрономических параллаксов сводятся к измерениям направления световых лучей как функций прицельного параметра, который в нашем случае равен проекции отрезка Земля — Солнце на плоскость, нормальную к лучу зрения. Для направления светового луча вблизи начала координат имеем
dx (р) dp
дає—(1 -Ar12) 1/2хь
р=Г1
поэтому луч зрения определяется единичным вектором в противоположном направлении:
и да - (1 - Zcr12)1/2 j = Xi- (1 - Ur12)1/2 е. (14.4.7)
Следовательно, угол между фактическим лучом зрения и координатной линией x1, которая была бы лучом зрения при наблюдении из начала координат, равен
0 да I и— X11 да (1 — Ar12)1/21 EI да (1 -Ar12)172^y77- (14.4.8)
В евклидовой геометрии источник, находящийся на расстоянии d, имел бы параллактический угол 0 да bid, так что в общем случае можно ввести параллактическое расстояние dn до источника света как величину, равную
dn = ^ при 0^0, Ь-*- 0, (14.4.9) •448
Гл. 14. Космография
и затем переписать (14.4.8) в виде
^rm (!-?.)*• (14'4Л°)
Во вселенной с к = +1 параллактическое расстояние до объектов с гх = 1 бесконечно, а параллактические расстояния до более далеких объектов (гг <1) уменьшаются; это впервые было отмечено К. Шварцшильдом [17] в 1900 г.
Для вычисления видимых светимостей представим себе круглое зеркало телескопа радиусом Ь, центр которого совпадает с началом координат, а его нормаль направлена вдоль луча зрения X1 к источнику света. Лучи, падающие на поверхность зеркала, образуют конус с источником в вершине. Этот конус в локально-инерциальной для источника системе координат Xv-имеет угол 2 I е I при вершине, причем E определяется формулой (14.4.6). Телесный угол этого конуса равен
. |2 __ Itb2
я1?1 - R4to) H2 '
и доля всех изотропно излученных фотонов, попадающих на зеркало, есть отношение этого телесного угла к 4я или
Illl =----(14 4 11)
4 4jtA2 (t0) Tj2 ' [lt.-i.li;
где А — собственная площадь зеркала А = лЪ2. Однако каждый фотон, имевший при излучении энергию Av1, претерпит красное смещение до энергии HvlR (ti)/R (Z0), а фотоны, излученные за промежуток времени SZ1, будут «прибывать» на поверхность зеркала в течение времени SZ1T? (t0)/R (Z1), где, как обычно, Z1 — момент времени, когда свет покидает источник, a Z0 — момент, в который он доходит до зеркала. Таким образом, полная мощность Р, попадающая на зеркало, равна полной мощности излучения источника, которая по определению есть его абсолютная светимость L, умноженной на R2 (Z1)/R2 (Z0) и на отношение (14.4.11):
