Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Cii^M (х- X) + C„v|x^>(x; X)= 0,
Cjxv=
то, продифференцировав его ПО Xp И ПОЛОЖИВ X = X, приходим к Cxp = 0, а положив затем ж = X в этом соотношении, получаем § 1. Векторы Киллинга
405
с% = 0. Таким образом, однородное пространство, изотропное в окрестности некоторой точки, является максимально симметричным. Из этого также следует, что любое пространство, изотропное в окрестности каждой точки, является максимально симметричным.
Можно также доказать обратное, а именно: максимально симметричное пространство с необходимостью однородно и изотропно в окрестности каждой точки. Если существуют N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга (х), то можно считать, что величины Inp (X), |\;v(Z) образуют квадратную матрицу, имеющую N (N -г 1)/2 строк, нумеруемых значениями п, и N (N + 1)/2 столбцов, нумеруемых N значениями величины р и N (N — 1)/2 значениями X и v, где X > v. Кроме того, эта матрица должна иметь неравный нулю детерминант, поскольку любое соотношение типа
ScnIpn(Z)==ScnHx; Vn(Z)=O
П П
предполагало бы при наличии (13.1.10), что S cTiIp" (х) исчезает —
п
в противоречии с нашим предположением, что эти векторы Киллинга независимы. Следовательно, должно быть возможным для любого «вектора-строки» с «компонентами» ад и b?V = —bV?, найти решение уравнений
S dnl" (X) = ав, S dnU vn (X) = Ъ^.
п п
Поэтому мы можем определить вектор Киллинга (х), который в точке Z принимает значения a (X) принимает значение 6MV, если выберем
?„ (X) = ^dnIvT(X). п
Но ам произвольно, следовательно, пространство однородно; произвольно и (исключая условие ^liv = —&vn)> а потому пространство изотропно в окрестности точки Z.
В качестве примера максимально симметричного пространства рассмотрим .V-мерное плоское пространство с равным нулю тензором кривизны. Тогда можно выбрать декартовы координаты с постоянной метрикой и равной нулю аффинной связностью. В этой системе координат уравнение (13.1.9) выглядит так:
дх^дх0
Решение его имеет вид
C11 (ж) = au + b?Vxv, 406
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
где ам и b?V — константы. Это выражение является вектором Киллинга в соответствии с условием (13.1.5) тогда и только тогда, когда
fyiv = ' ^vn •
Следовательно, можно задать набор N (N -f 1)/2 векторов Киллинга следующим образом:
i™ (x) = v. и ^ - s^v-
Тогда произвольный вектор Киллинга выражается в виде комбинации
N векторов (х) вводят трансляции, в то время как N (N — 1)/2 векторов S^ ^ вводят бесконечно малые вращения (или, в пространстве Минковского, лоренцевы преобразования). Таким образом, метрика любого плоского пространства допускает существование N (N -j- 1)/2 независимых векторов Киллинга и является, следовательно, максимально симметричной.
Конечно, не все метрики позволяют построить максимальное число векторов Киллинга. Является ли разрешимым (13.1.9) для данного набора начальных данных Sx, (X), Sx-, р (Z) или нет, это зависит от интегрируемости данного уравнения, что зависит в свою очередь от рассматриваемой метрики. Одно условие интегрируемости, которое мы будем использовать ниже, следует из общей формулы для коммутаторов ковариантных производных тензоров:
Sp; ц; а; V Sp; ц; v; о = 1 RpavSx; р. R?Ov^p; X-
Соотношение (13.1.9) удовлетворяет этому условию тогда и только тогда, когда
Rap?^X; V — Rvp?^l; a + (R<jpu; v ~ ^vpn; a)Sx = — Rpovb.; ц ^navSp; Ь
или, [см. (13.1.5)], когда
[ Rpov&y, + Ruavbp — Rapiibv Rvpiiba ] Sx; и = [^арц; v ^vpn; a] Sx-
(13.1.12)
Эти условия, конечно, не накладывают никаких ограничений в случае плоского пространства, но они, вообще говоря, образуют линейные соотношения между Sx и Sb; к в любой данной точке. И наоборот, если мы знаем что-нибудь о векторах Киллинга, допускаемых неизвестной метрикой, то мы можем с помощью (13.1.12) получить информацию о тензоре кривизны. Таким путем мы сможем в следующих параграфах найти зависимость максимально симметричных метрик от их изометрических свойств. § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 407
Следует подчеркнуть, что существование определенного числа независимых векторов Киллинга не связано с конкретным выбором системы координат. Если Itl (х) есть вектор Киллинга метрики g?V (х), то, выполняя преобразование координат Xtl —у х'^, получаем метрику
а гак как (13.1.5) общековариантно, то, очевидно, существует вектор Киллинга
t'V(x')=
- V ' dxv - У '
Если M векторов Киллинга (х) являются независимыми, то независимы и M векторов Киллинга (х'), так как любое линейное соотношение между In' предполагало бы линейное соотношение между Таким образом, максимальная симметрия данного пространства есть его внутреннее свойство, не зависящее от того, как мы выбираем систему координат. В частности, отсюда следует, что любое пространство с нулевым тензором кривизны максимально симметрично; обратное, однако, не верно. Легко также видеть, что свойство однородности її изотропности данного пространства не зависит от выбора координат. Таким образом мы выполнили задачу, поставленную во введении к этой главе для простых типов симметрии, т. е. описали свойства симметрии метрики общековариантным образом.
