Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Эти два принципа инвариантности приводят к двойной классификации физических величин. Координатный скаляр или координатный тензор преобразуется как скаляр или тензор при замене системы координат. При заменах локально-инерциальных систем координат лоренцее скаляр или лоренцев тензор или лорен-цев спинор преобразуется по правилу, подобному (12.5.12), где D (Л) — единица или тензорное представление или спинорное представление инфинитезимальных преобразований группы Лоренца. Например, поле (12.5.4) является координатным скаляром и лоренцевым вектором, поле электрона Дирака — это координатный скаляр и лоренцев спинор, а тетрада Vajx — это координатный вектор и лоренцев вектор. Приемлемая с физической точки зрения лагранжева функция вещества Im должна быть координатным скаляром и лоренцевым скаляром.
В этом месте у читателя может возникнуть недоумение: как может появиться в теории гравитационное поле, если коорди-натно-скалярные компоненты (12.5.9) метрического тензора оказываются постоянными г)а15? Ответ состоит в том, что гравитационные тензорные поля возникнут в действии потому и только потому, что в теорию необходимо будет ввести производные. Если бы имелся смысл в построении действия Im только из полей без производных от них, тогда надо было лишь выбрать некоторую произвольную лоренц-инвариантную функцию (х)), зави-
сящую от различных полей *фп (х) (но не от тетрад), и, считая их координатными скалярами, записать действие в виде
1и=*\#хУ7Щхеъ (х)).
Это выражение было бы тогда автоматически координатным скаляром и лоренцевым скаляром. Однако примеры, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах этой главы, показывают, что любые физически приемлемые лагранжевы функции должны содержать производные физических величин наравне с самими этими функциями. Тетрадное поле должно входить в лагранжеву функцию таким образом, чтобы сохранялся ее скалярный координатный и лоренцев характер, несмотря на присутствие производных.
Обычная производная является, конечно, координатным вектором в том смысле, что при замене координат х —у х' она пре- 394
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
образуется по правилу
д д __ dxv д
дх11 дх'11 ~ dx'v Qxv
Если бы все поля, включаемые в действие, были бы координатными скалярами, в нем не возникало бы контравариантных индексов для свертывания с ковариантным индексом ц. Следовательно, для того, чтобы сделать действие координатным скаляром, необходимо ввести тетрадное поле и производные типа
Ve^. (12.5.13)
Однако, хотя эта комбинация — координатный скаляр, она не обладает простыми трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, зависящих от положения. Если преобразовывать произвольного вида поле согласно лоренцеву правилу (12.5.12), то его скалярные координатные производные
будут преобразовываться так:
у/ (х) ^{х) {х) y^ {х) {D (Л {х))* =
= Aj (X) Vf (X) { D (А (х)) ф* (X) + [-JL- D (Л (*)) ] ф* (х) } .
(12.5.14)
Однако нам нужно включить в действие производные в форме оператора 3oa, который является не только координатным скаляром, но также, в отличие от (12.5.13), лоренцевым вектором. Последнее означает, что при лоренцевом, зависящем от положения преобразовании Aaf3 (х), должно иметь место преобразование
(X) Aa? (х) D (А (x))3)?*\Jp (х). (12.5.15)
Любое действие, зависящее лишь от различных полей и их «производных» <3?а*ф, тогда автоматически не будет зависеть от выбора локально-инерциальных систем отсчета, если оно инвариантно относительно обычных постоянных лоренцевых преобразований. Рассмотрение правила (12.5.14) показывает, что мы можем построить координатно-скалярную и лоренцевско-вектор-ную производную Э)а вида
?2«^F/[-^-+ Г„], (12.5.16)
где Tix — матрица, подчиняющаяся следующему правилу лорен-
цева преобразования:
Гц (х) D (A (X)) Til (х) ZT1 (A (х)) -
- Я (A (х))]/^(A(X)). (12.5.17) § 5. Тетрадный формализм
395
Неоднородный член в (12.5.17) будет тогда сокращаться со вторым членом в (12.5.14), приводя к нужному трансформационному свойству (12.5.15) производной Sa.
Для того чтобы определить структуру матрицы Гм (х), достаточно рассмотреть преобразования Лоренца, бесконечно близкие к единице. Такие преобразования в соответствии с (2.12.5) и (2.12.6) должны иметь вид
A03 (ж) = бар + со«р(ж), (12.5.18)
где
©ар(х)= -щ*(х). (12.5.19) В этом случае матрица D имеет форму (2.12.7)
D (1 + со (х)) = 1 + і- <a°? (х) aa?. (12.5.20)
Здесь (ia? — набор постоянных матриц, антисимметричных по а и ?:
cT«?=-a?a, (12.5.21)
и удовлетворяющих коммутационным соотношениям (2.12.12)
[tf<x?» °V&] = TlvP0ra5 — 1VaPe + 'HeP0Va-1IeaOvP. (12.5.22)
Условие (12.5.17) утверждает, что при инфинитезимальном лоренцевой преобразовании (12.5.18) матрица T11 (х) преобразуется так:
Гц (х) Til (х) (х) [aa?, Til (*)] _|aa?-jL- co«? (*).
(12.5,23)
Заметим, что Vali (х) преобразуется по правилу
Fav (х) Fav (х) -fco^? (х) Fpv (ж), а потому, используя (12.5.8), получаем
V (*) ipr F«v (x) V (x) -A- Fav (x) +
