Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
жестких «вращений» (N + 1)-мерного пространства, т. е. относительно преобразований
х*X^ = RilvX"+ RilzZ, (13.3.5)
z^z' = RzvP + RzzZ, (13.3.6)
где Rab — постоянные, удовлетворяющие соотношениям
CiivR11pRva + K-IRzeRz0 = Cpa, (13.3.7)
C?VR%R\ + K-IRzpRzz = 0, (13.3.8)
CiivRilzRvz + К'! (Rzzy = K-K (13.3.9)
Удобно различать два класса простых преобразований, задаваемых (13.3.7) - (13.3.9):
A. R\=M\, Rilz = Rzil = 0, Rzz = 1, (13.3.10)
где Ji11v- любая N X iV-матрица, подчиняющаяся соотношению
CvvM^0Mva = Cpa. (13.3.11)
Это условие соответствует жестким «вращениям» относительно начала координат
= (13.3.12) 414
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Б. R^z = Ф, Rzvl= -KCvva\ Rzz=(l-KCpaaea°)1/2, (13.3.13) R\ = b\-bKCvpaPa(13.3.14)
где а* произвольно, за исключением того, что, так как Rzz должно быть действительным, должны выполняться соотношения
ЯСрааРа°<1 (13.3.15)
и
1-(1 -KCpaaPac?!*
ft=---pI ' . (13.3.16)
КСрааРаа V '
Эти преобразования можно назвать «квазитрансляциями», поскольку
х'ц = ян + an [(1 — КСрахРх°)Мг — ЬКСвахРа°]. (13.3.17)
В частности, они переводят начало координат х* = 0 в точку а*.
Существование изометрий (13.3.17), которые переводят начало координат в любую точку (по крайней мере внутри конечной области), означает, что рассматриваемое пространство однородно, т. е. любая точка геометрически подобна любой другой точке. (Это свойство явно не видно в нашей системе координат, точно так же как на карте Земли в полярной проекции не видно, что кривизна Земли одна и та же как в Массачусетсе, так и на Северном полюсе.) Существование изометрий (13.3.10), которые включают все жесткие «вращения» относительно начала координат, означает, что рассматриваемое пространство изотропно относительно начала координат. Если же учесть, что метрика однородна, то пространство является изотропным в каждой точке, т. е. максимально симметричным.
Можно построить векторы Киллинга для этой метрики, устремляя конечные преобразования (13.3.5) и (13.3.6) к тождественным Сначала рассмотрим преобразования А и положим
= + |е|< 1,
+ CpllQ110 = O. (13.3.18)
Сравнивая это с (13.1.3), получаем векторы Кпллинга в виде
fa(^)=QV. (13.3.19)
Рассмотрим теперь преобразование Б и положим
а* = га*, |е|<1.
Сравнивая последнее с (13.1.3), находим соответствующий вектор Киллинга
(х) = a* [1 - KCtlvX^)1'2. (13.3.20) § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 415
Читатель может убедиться в том, что (13.3.19) и (13.3.20) действительно удовлетворяют условиям Киллинга (13.1.5). Имеется N (N —1)/2 независимых параметров [т.е. N2 элементов Qfl7, отвечающих N (N + 1)/2 условиям (13.3.18)] и N параметров CttS так что рассматриваемая метрика позволяет построить Лт (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга, подтверждающих наличие максимальной симметрии.
Геодезические, соответствующие этой метрике, имеют замечательно простой вид. С помощью (13.3.4) легко вычислить, что аффинная связность равна
Г& = Jfa^vx, (13.3.21)
так что дифференциальное уравнение для геодезических выглядит так:
+ A^==O. (13.3.22)
Решение его — это линейные комбинации sin (ти cos(t]//v)
для #>0 или sh (т]/ — А') и ch (т]/"—Пк) для Zf <0.
Можно выявить внутренние свойства данного пространства, вычисляя его тензор кривизны. Непосредственные вычисления, использующие выражения (6.6.2) и (13.2.21), дают тензор Римана — Кристоффеля для метрики (13.3.4) в виде
Z^XVpCF " Zl [CxoCvP CxpCvo] "I""
-j- K^ [1 ¦ КС^х^х^j ^ \СKQxvxQ Cxpxvx0-j-Cvpx^x0 CvoxpxxI (где Xv = CvilXfx) или
-йхгрс ~ К [gpvgxcr ?ovSxp]
в соответствии с выражением (13.2.9). Поэтому постоянная К в выражениях (13.3.1) и (13.3.2) та же самая, что и постоянная кривизны, используемая в предыдущем параграфе.
Так как К — инвариантный параметр, мы не можем заменить метрику (13.3.4) подобной метрикой с отличным К с помощью преобразований координат. Напротив, из выражения (13.3.3) следует, что с помощью линейной трансформации
X^ = Afxv X *
можно преобразовать метрику (13.3.4) в подобную метрику с тем же самым К її Cliv, замененным на
' _ до ла г
HV — Л vb ра • 416
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Из обсуждения, проведенного в § 6 гл. 3, вытекает, что таким способом можно заменить Ciiv любой действительной симметрич ной матрицей по нашему желанию, имеющей, однако, те же самые числа положительных и отрицательных собственных значений Числа собственных значений каждого знака матрицы Ciiv те же самые, что и у матрицы g?V в точке х = 0, и, следовательно, те же самые, что и во всем пространстве, поскольку все его точки эквивалентны.
^-мерная метрика, позволяющая ввести локальные евклидовы системы координат (в противоположность, скажем, системе Минковского), будет иметь все собственные значения положительными, а потому для К Ф 0 можно считать Ciiv равной | К |-1, умноженной на единичную матрицу. В этом случае (13.3.3) примет вид
ds2 = K~l [dx + ] для К>0 (13.3.23)
или
