Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
К сожалению, в квантовой теории гравитации формулировка общих правил вычисления вероятностей переходов вскрыла лишь наличие другой трудности. Оказалось, что теория содержит бесконечности, возникающие при интегрировании по большим виртуальным импульсам. В квантовой электродинамике возникают аналогичные бесконечности, но только в трех или четырех специальных случаях, где они связаны с перенормировкой массы заряда и волновых функций [41]. В отличие от этого квантовая теория гравитации содержит неограниченное множество бесконечностей, в чем можно убедиться, исходя из элементарных соображений размерности. Действительно, гравитационная константа имеет размерность film2, а потому безразмерная амплитуда вероятности порядка Gn будет расходиться как интеграл ^p2"-1 dp по импульсному пространству. В связи с этим теория гравитации более похожа на неперенормируемые теории, например на фермиевскую теорию бета-распада, чем на квантовую электродинамику.
Несмотря на эти трудности, из квантовой теории гравитации можно сделать один очень важный вывод: невозможно построить лоренц-инвариантную квантовую теорию частиц с нулевой массой и спиральностью ±2 без введения в теорию калибровочной инвариантности некоторого вида [29, 30], ибо только в этом случае взаимодействие нетензорного поля ZillV может приводить к лоренц-инвариантным амплитудам переходов. Однако в § 2 мы видели, что теория гравитационного излучения калибровочно-инвариант-на, так как общая теория относительности общековариантна, а, как следует из обсуждения, приведенного в § 1 гл. 4, общая ковариантность есть лишь математическое выражение принципа эквивалентности. Таким образом, оказывается, что принцип эквивалентности, на котором основана вся классическая общая теория относительности, есть сам по себе следствие требования, чтобы квантовая теория гравитации была лоренц-инвариаптна. § 9. Гравитационные возмущения в гравитационных полях 313
§ 9. Гравитационные возмущения в гравитационных полях
В предыдущих параграфах была описана лоренц-инвариантная теория слабых гравитационных волн в пространстве-времени Минковского. В дальнейшем, в гл. 15, посвященной космологии, нам понадобится общая ковариантная теория распространения слабых гравитационных возмущений в гравитационном поле g^v.
Согласно уравнению (6.1.5), если при некотором возмущении величина g^v изменяется на ^fiv + Sgliv при малом Sgfiv, то в первом порядке по Sgliv имеем
SRliv.=-Z---TT^-+ бГихГиті+ бГ^ГІЇх. — — 6Г, ^rJ1jo
дх дх
где бГ^ есть изменение аффинной связности:
6Г* --iAPfiff Г" 4--^P Г-^ + -^— OI11V- g OgpaI Hv + 2 g [_ ^v + ^ll ^p J-
Отметим, что 6r^v можно выразить в виде тензора
Sltv = Ig^ [(6gpll);v + (6gpv);„-(6^v);p]. (Ю.9.1)
Ковариантные производные здесь, естественно, построены с помощью невозмущенной аффинной связности T11V- Так как бГйу есть тензор, то изменение тензора Риччи можно также записать через ковариантные производные следующим образом:
б^ = (6Г^);И-(бГ^);Х. (10.9.2)
Это соотношение известно как тождество Палатини. Выраженное через Sgfivi оно имеет вид
S^x = 4 [(6g,p);(i;x - (Sgpil);,;, - (ogp,);^ + (6g^);p;,]. (10.9.3)
Предполагается, что невозмущенное гравитационное поле ^liv и тензор энергии-импульса Tliv удовлетворяют уравнениям поля Эйнштейна. Условием того, что этим же уравнениям удовлетворяют И g^v + ^gtiv И Tvlv + STtiv, является
— gxp [(Sgxpb;* — (sSpm);*;*.~ (б?Рх,);ц-д + (Sglix);Р;х] =
= - SnG [STllv —і B^gwbTpa + 4 BtivSgl^ -4 •
(10.9.4)
Изменение источника поля STliv подчиняется следующему закону сохранения:
(67^);|1 + JvX6r^ + JXu6rVx = 0- (10.9.5)
Общая ковариантность этих уравнений очевидна. 314
Гл. 10. Гравитационное излучение
Так же как и для гравитационных полей, заданных в про странстве-времени Минковского, здесь важно отличать физическої возмущение от простого изменения системы координат. С 9Т0І целью рассмотрим произвольное бесконечно малое преобразование координат
XV- X= х» — еМ' (х), (10.9.6;
где єJ1 (х) — некое инфинитезимальное векторное поле. Частньк производные, возникающие в правилах преобразования тензора, имеют здесь вид
дх» __ gn де.^ (X) дхv - V Oxv '
= Sv,+ 0(8*).
Поскольку уравнения Эйнштейна общековариантны, а g?V (х) является решением уравнения для тензора энергии-импульса T1Jiv (х), то решением уравнения для Tfiv (х) служит g^v (х), •определяемое следующим образом:
H» (X) = g'nv (Xf) + -^P- # (X) + 0 (е*) =
дх
, . . . . dRX(x) , . . дгх(х) , og?v (х)
= ^v (х) + ^v (х) + (-г) + -^r- е?- (х)
и аналогичным образом определяется T ^v (а:). Записывая это выражение в ковариантной форме, мы можем сделать вывод, что тензор
g[iv (х) = g,« (х) + Aegliv (х) (10.9.7)
является решением уравнений Эйнштейна для тензора энергии-импульса, имеющего вид
TiIv [х) = Tliv (х) +AeTliv(X), (10.9.8)
где
Ae^v = en;v + 8v;ix, (10.9.9)
KTliv = 7V*;v + TVvili + Ttlv-^K (10.9.10)
{Заметим, что Agg1liv имеет ту же форму, что и A8Jjiv, за исключением того, что ковариантные производные от g^v равны нулю, в то время как у T1liv они существуют.) Отсюда с помощью прямого вычисления можно показать, что Sgliv = Aggliv есть решение уравнения поля (10.9.4) для возмущения источника STliv = = A8Jliv. Но так как уравнение (10.9.4) является линейным дифференциальным уравнением, то, задавая любое решение Sgtiv, можно всегда найти другие решения вида Sgtlv + Aggliv с тем же § 9. Гравитационные возмущения в гравитационных полях 315
