Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
п (со) cto = ~J— ^exp ^~r j ^] ~1' (10-8-9)
где к = 1,38-10"16 эрг/К — постоянная Больцмана. (При выводе этого выражения был учтен тот факт, что гравитон, подобно фотону, имеет два независимых состояния поляризации.) Для того 310
Гл. 10. Гравитационное излучение
чтобы поддерживалось состояние равновесия, интенсивность Поглощения А (со) единичного гравитона стенками полости должна быть следующим образом связана с приходящейся на единичный объем интенсивностью излучения E (со) da) гравитона с частотой между со и со + da:
А (о) п (со) dco = E (со) dot. (10.8.10) Это соотношение можно записать также в виде [34]
E (со) = / (со) + S (со), (10.8.11)
где
5 и = (й exp ( -if) а и. (10-8-12)
/(©)«=» И exp ( - ) А (со). (10.8.13)
Величину S (со) мы рассматриваем, как скорость спонтанного гравитационного излучения, приходящуюся на' единичный 'объем и единичный интервал частот.
[(10.8.12) можно вывести также и из «кроссинг-симметрии» между излучением и поглощением; со2/л2 — множитель, учитывающий •«фазовое пространство», a exp (—Нсо/кТ) — множитель Больцмана, представляющий собой относительную вероятность того, что атом находится на верхнем уровне и способен излучить гравитон или находится на нижнем уровне и способен поглотить гравитон.] Оставшийся член / (со), пропорциональный га (со), можно рассматривать как приходящуюся на единицу объема и частот скорость .индуцированного излучения гравитационных волн — эффект, связанный с бозе-статистикой газа, состоящего из гравитонов {см. [7], стр. 449).
Полезно заметить, что выражения (10.8.12) и (10.8.13) остаются справедливыми даже в том случае, когда гравитационное излучение не находится в равновесии с веществом и формула (10.8.9) для и (со) не выполняется. Необходимо только, чтобы при температуре T вещество находилось в состоянии теплового равновесия. Например, разделив выражение (10.4.26) на Йсо, можно вычислить приходящуюся на единицу объема и частоты интенсивность S (со) ¦спонтанного излучения гравитонов в нерелятивистском газе при условии, что частота гравитона со лежит в интервале сос<С ® <€ кТ/Н. Выражение (10.8.12) приводит тогда к следующей формуле для скорости поглощения таких гравитонов:
4 И =W 2 MAtfW»» <«4ь J ^sin2OdQ)
а, ь
Поведение Л (со) как со-3 может при высокой температуре эту величину сделать неожиданно большой для низкочастотных гравито- § 8. Квантовая теория гравитации
311
лов в газе. Однако индуцированное излучение эффективно уменьшает интенсивность поглощения в кТ/Аы раз. В сегодняшней Вселенной, по-видимому, не возникает ситуации, когда поглощение гравитационного излучения играло бы важную роль.
То, что мы здесь изложили, можно назвать полуклассической теорией гравитации. Развитие действительно квантовой теории гравитации, к сожалению, намного слойшее. Один из подходов к такой задаче — это построение гамильтониана взаимодействия, который мог бы описывать рождение и уничтожение гравитонов, и затем вычисление вероятностей переходов в виде степенного ряда по этому взаимодействию. Обычно гамильтониан строится из квантованных полей вида
где epv (к, —тензор поляризации гравитона с импульсом ft к и спиральностью |х, а а (к, р.) и Oi (к, р) — операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие следующим коммутационным соотношениям:
Трудности такого подхода возникают из-за того, что оператор (10.8.15) не может быть лоренцевым тензором, поскольку суммирование по спиральностям ограничено физическими значениями ja = ±2; как мы видели в § 2 этой главы, истинный тензор имел бы спиральности 0, ±1, ±2. Мы можем, правда, исходить из истинного тензора, а затем подвергнуть ^liv градиентному преобразованию, чтобы исключить нефизические значения спиральности О и ±1- Однако если мы выбираем калибровку таким образом, то Zitiv не будет уже тензором. Если, действуя по-другому, считать, что е13, е2з! eioi еюі еооі еоз и езз исчезают, когда к направлено по 3-оси, то калибровочное условие не является лоренц-инвариантным. Действительно, если сделать эти компоненты равными нулю, то при лоренц-преобразовании AlJ величина h?V не перейдет просто в Ali" Av0Zipc,, а подвергнется дополнительному градиентному преобразованию [33]:
X exp (ikxx%) + Oi (k, (X) e$v (к, Ц.) exp (—ikxx%)}, (10.8.14)
[a(k,|i),a+(k', ц')] = ^ (к-к') V'. (10.8.15) [а (к, ц), а (к', |0] = И(к, И), а* (к', ц')1 = 0. (10.8.16)
Итак, построение гамильтониана из данных объектов и получение таким образом лоренц-инвариантных вероятностей переходов является нелегкой задачей. 312
Гл. 10. Гравитационное излучение
Существуют два возможных пути ее решения. Один из НИХ -это допустить нетензорный характер Hiiv и использовать для вывода лоренц-инвариантных правил вычисления амплитуд переходов нековариантный гамильтонов формализм [34—36]. Эта программа достаточно легко реализуется в электродинамике, однако в общей теории относительности ее пока что не удается завершить из-за самодействия гравитационного поля. В другом подходе, предложенном впервые Фейнманом [37], исходят из явно лоренц-инва-риантного формализма, а затем каким-нибудь способом пытаются исключить появление среди физических состояний нефизических частиц со спиральностями 0 и ±1. Эта программа успешно завершена в работах Фадеева и Попова [38], Мандельстама [39] и Де Витта [40].
