Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Для начала на простейшем уровне будем считать элементарно, что гравитационная плоская волна с волновым вектором и спиральностью ± 2 состоит из гравитонов — квантов с вектором энергии-импульса pi* =Mcf1 и проекциями спина на направление движения, равными ±2/?. (Здесь h = 1,054 -10-27 эрг/с.) Поскольку IevBi- = 0, то, подобно фотону и нейтрино, гравитон — это частица с нулевой массой. Согласно выражению (2.8.4), тензор энергии-импульса ансамбля гравитонов, каждый из которых имеет 4-импульс = ftkv-, равен
Ккц К
Tilv=-^jri (10.8.1)
где JT— число гравитонов на единицу объема. Сравнивая (10.8.1) с выражением, найденным нами для плоской гравитационной волны,
(10-8-2)
можно сделать вывод, что в плоской волне плотность числа гравитонов со спиральностью ±2 равна
Iе* I2- (10-8-3)
*) Этот и следующий параграфы лежат несколько в стороне от основной линии книги и могут быть опущены при первом чтении.
20* 308
Гл. 10. Гравитационное излучение
Плотность полного числа гравитонов имеет вид
[eXv*eXv-^\e\\2). (10.8.4)
¦ ^y +-
16л HG
Аналогичным образом, можно рассматривать в (10.4.13) мощность, теряемую произвольной системой в виде гравитационного излучения, как интенсивность излучения dY гравитонов с энергией /гсо в телесный угол dQ:
= (А,(о)Р]. (10.8.5)
Однако здесь под тензором энергии-импульса TXv (к, со) необходимо понимать уже матричный элемент оператора тензора энергии-импульса между начальным и конечным состояниями. В частности, ширина перехода атома из состояния а в состояние b путем гравитационного излучения в квадрупольном приближении записывается так:
Г (а -> Ъ) = -?^- [ Dti (а Ъ) Dij (а -> Ъ) - \ \ Dii (а Ъ) |2] ,
(10.8.6)
где
Dij (а~>Ъ) = те j фй* (х) XtXrfa (х) d3x, (10.8.7)
а Фа> Фь — волновые функции начального и конечного состояний. Например, ширина перехода с излучением одного гравитона атомом водорода из состояния 3d (т = 2) в состояние Is равна
2 23Gmp3C
Г (3d->- Is) = 37515(137)6^2 = 2,5-10 44 с
Совершенно ясно, что нет никакой возможности наблюдать такой переход.
Приведенные выше оценки относятся к процессам, в которых переходы возникают именно из-за излучения гравитона, а потому гравитон имеет определенную частоту со = (Ea — Eb)!h. Можно рассмотреть также процесс, протекающий любым другим образом, например за счет столкновения частиц, и поставить вопрос: какова вероятность излучения гравитона в таком процессе? В этом случае частоты гравитонов образуют непрерывный спектр, поэтому используем формулу (10.4.22) для излучаемой энергии, разделив ее на /гсо. Тогда вероятность излучения в телесный угол dQ гравитона с частотой в dta равна
, п _ Gffla dto dQPc t)jv4m
2Jt2Sco ZJ (PN-k)(PM-k) x
N, M
X [ (Pn-Pm)2mN2mM2] , (10.8.8) § 8. Квантовая теория гравитации
309
где Pc — вероятность столкновения без излучения гравитона; суммирование по TV и M, как и раньше, производится по всем частицам в начальном (г| = —1) и конечном (т] = +1) состояниях. Эту формулу можно вывести чисто квантовомеханическими методами [29].
Следует заметить, что вероятность излучения dP пропорциональна dco/co [множитель (Р -к) в знаменателе пропорционален со], поэтому полная вероятность излучения гравитационных волн при столкновении расходится логарифмически как при со -> оо, так и при со —0. С расходимостью при со -> оо, т. е. с «ультрафиолетовой» расходимостью, мы столкнулись еще в классике. Этот вид расходимости возникает из-за предположения, что столкновения происходят мгновенно; эту расходимость можно исключить, обрезав интеграл по со при значении со ~ IIAt ~ Elh, где At — длительность столкновения, a E, согласно принципу неопределенности, есть некая типичная энергия столкновений. Второй вид расходимости —«инфракрасная» расходимость, возникающая при со = 0,— есть чисто квантовомеханический эффект, здесь он появился исключительно из-за того, что при вычислении вероятности излучения мы разделили значение излучаемой энергии dE па величину Йсо. Эту расходимость можно устранить, учитывая то, что Pc — вероятность столкновений без излучения гравитонов — сама по себе расходится логарифмически из-за испускания и поглощения источником виртуальных гравитонов и что эти расходимости взаимно уничтожаются [30]. Таким образом, приняв простейшие представления о квантовой природе гравитационного излучения, мы неизбежно обнаруживаем связи реальных и виртуальных гравитонов.
Квантовая интерпретация гравитационного излучения приводит к простому выводу соотношений между вероятностями поглощения и излучения гравитонов. Представим себе, что имеется абсолютно черная полость с температурой T в теле, настолько большом и плотном, что оно непроницаемо для гравитационного излучения. Пусть полость будет заполнена электромагнитным и гравитационным излучением, находящимся в равновесии с содержащей их оболочкой. Используя те же статистические соображения, которые для электромагнитного излучения приводят к распределению Планка (см., например, [31]), получаем, что приходящееся на единицу объема число состояний гравитона с частотой, лежащей между со и со + dco, равно
