Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
196
где в силу (9) и (10)
gn(xi) = \ P(tu хь t2, dx2) ^ ...
X X
5^ (*„-Г Xn-V К> йХп)Ътх{Хх) •••
¦•¦'Xr„K)p(^. K+v г„+1).
Это означает, что выполнено (12).
Шаг индукции проведен, лемма доказана.
Теперь для вывода (1) достаточно заметить, что
р{(4’ 4JeC} = MP{(4’ Ч)еС1^<*,} =
= №?„(%,) = $ Vtx(dx{)gn(xx). х
Применение доказанной теоремы дает регулярный способ решения задач § 8.1.
3. Применим полученные результаты к марковским семействам.
Теорема V. П усть %t = %t (со) — функция от t^T и соей; P.Viх — меры на о-алгебрах @~^s, порожденных функциями lt (со), t^s\ Р,,, * (Q) = 1. Чтобы (?f> Р«, х) было марковским семейством с данной переходной функцией Р (•, -, •, •), необходимо и достаточно, чтобы для любых s t\ < ... </„, и Се SC1
было
= \p{s, х, tu dxx) ^ P(tu х,, t2, dx2) ...
XXX
••• Xn-V *„> dXn)Xc(XP ¦¦¦. Xn)- (15)
x
Доказательство. Согласно теореме 1, из того, что (?t, Ps х) — марковское семейство, вытекает
Ps,x{(h1’ У е с} =
= S (djci)SP(/i- *i’ dx2) \
XX X
••• (*»-!• Xn-V dXn)Kc{XV ¦¦¦• Xn)> (16)
X
197
где ns х. t — одномерное распределение, соответствующее моменту ti, относительно вероятностной меры ps,/- ^.x;;,(r) = Ps. Но Формула (6) пре-
дыдущего параграфа дает |is и = Р (s, х, ¦), откуда получаем (15).
Обратно, из (15) при п= 1 вытекает, что |is х. t = = P(s, х, tv •); значит, (15) при любом п переписывается в виде (16). Теорема 1 дает нам, что \t, t^s, относительно вероятностной меры Р,,*—марковский процесс с данной переходной функцией. Условие Ps, * {?s = х) — 1 получаем из (15) с п = 1, t\ = s, пользуясь условием 3) § 8.1 для переходной функции.
4. При рассмотрении примеров марковских процессов в § 8.1 одной из первых ступеней было нахождение переходной функции; причем нужно было проверить все свойства 1) —4). Для первых трех это просто, но проверка уравнения Чэпмена — Колмогорова требует значительного труда. Оказывается, в случае марковских семейств отдельно проверять это условие не нужно.
Теорема 2. Пусть P(s, х, t, Г)—функция, удовлетворяющая условиям 1)—3) § 8.1 и пусть для (|;, Ps Л) выполнены формулы (4), (5) § 8.1 или формула (15) этого парагрфа.
Тогда для P(s, х, t, Г) выполнено условие 4), и (|(, Ps Л) — марковское семейство с данной переходной функцией.
Доказательство. Просматривая доказательство теорем 1, I', убеждаемся, что условие 4) § 8.1 не использовалось, так что условие (15) этого параграфа равносильно условиям (4), (5) § 8.1. Из (15) получаем:
Р (s, х, и, Г) = PSj х {1и е Г} = Ps> х {(g(, уЕХХГ} =
= ^ Р (s, х, t, dy) P (t, y, u, dz) xv (z) =
X X
= ^ P {s, x, t, dy) P (t, у, и, Г).
X
Большинство марковских процессов, рассмотренных в § 8.1, естественным образом включается в марковские семейства, что облегчает рассмотрение этих примеров.
5. Выведем еще одну форму марковского свойства.
Теорема 3. Если (lt, PSjX)— марковское семейство, то для любых s из Т, xel и события В е= ST>t
Ps,x(B\irls.tO = Pttltm(B) (17)
198
почти наверное относительно вероятностной меры Р'.Х-
Иначе говоря, поведение процесса после момента времени t при условии, что фиксировано его течение до момента t, — такое же, как если бы он начинался в момент t из точки ^(м). Это опять выражает зависимость будущего от прошлого только через настоящее; но в качестве будущего рассматривается не один момент времени и ^ /, а целая о-алгебра собы-
тий, связанных со всеми моментами времени, начиная с t.
Доказательство. Для событий В вида В = = {(Ц, ...Л,п)«=С}, / = /,< ... <tn, С <=35*, это
уже доказано — см. формулу (11) в применении к вероятности (10) и (15). Чтобы перейти к произ-
вольным Ве^>(, прежде всего выведем вспомогательный результат.
Лемма 5. Для любого вероятность
Рt'x(B) измерима по х.
Доказательство. Обозначим через si систему множеств Bef», для которых выполняется утверждение леммы; через Ч? систему множеств вида
в = ((^г ¦'' ’ е с}’ t=zt\ < • • • < (п< с<=деп.
Уже установлено, что (лемма 2); значит,
.я^Эц^). Применение леммы 1 дает Э ц (Щ =
Продолжим доказательство теоремы.
Теперь мы видим, что правая часть (17) измерима относительно 3~\s, t\\ остается доказать, что для любого А е ST[s< t]
ps.xmB) = M,'XxApt'lt(B),
где символом * обозначено математическое ожидание, связанное с вероятностной мерой PSjJc. Легко видеть, что обе части являются мерами как функции множества В; они совпадают на алгебре W, а значит, и на a (ff) = #¦>(.
Теорема доказана.
6. В этом параграфе мы занимались таким вопросом: дан марковский процесс (марковское семейство); каковы тогда его конечномерные распределения? Теперь займемся вопросом о существовании. Он проще в случае марковских семейств.
