Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Pst — (р (s, х, t, у), х, у е X),
p(s, х, t, y) = P(s, х, t, {у})
(элементы матрицы мы обозначаем буквой р малое, строки и столбцы нумеруем элементами X). Легко проверить, что условия 1)—4), налагаемые на переходную функцию, в дискретном случае превращаются в следующие:
1) матрица Pst — стохастическая, т. е. она состоит из неотрицательных элементов с суммой 1 в каждой строке: J] P(s, х> U У) — 1;
у
2)—отпадает как тривиально выполненное;
3) Pss = Е (Е — единичная матрица);
4) Psu - pstptu ПрИ s и.
В случае несчетного пространства X иногда имеет смысл говорить о плотности вероятностей перехода, или переходной плотности, т. е. о функции p(s, х, t, у)
такой, что Р (s, х, t, Г) = j" p(s, х, t, y)m(dy) для всех
j'
s, x, t, Г, s < t (для s = t, конечно, не имеет смысла говорить о плотности, потому что всё распределение сосредоточено в точке х). Здесь m — некоторая фиксированная мера на (Х,9?), например, мера Лебега в случае евклидова пространства или его части. Условия 1)—4) можно заменить на следующие:
1), 2) p(s,x,t,y) измеримо по (х, у) относительно
96 X <%, Р (s, х, t, у) ^ 0, \ р (s, х, t, у) m (dy) = 1;
х
3)—отпадает, потому что при s — t плотности нет;
4) p(s, х, и, y)=^p(s, х, t, z)p(t, z, и, y)m(dz).
x
Задача 1. Проверьте, что матричыая функция
pst = ( (2 + e"3(<_S))/3 (1 -e~3^-s))/3 \
V (2 — 2e~3 {i ~s)/3 (l + 2e 3 (* ~s))/3 )
удовлетворяет условиям 1)—4) и, таким образом, задает переходную функцию на фазовом пространстве X = {1, 2}.
184
Каким образом была построена функция Pst, станет ясно позже, когда мы больше узнаем о марковских процессах.
Задача 2. Пусть Т — произвольное подмножество прямой, и любой паре его элементов s sg t сопоставлены действительное число m.st и неотрицательное число a2t. Для s ^ t из Т, х s R' определим Р (s, х, t, .) как нормальное распределение со сред-
о О
ним mstx и дисперсией ost. Найдите условия на mst и a"st, необходимые и достаточные для того, чтобы выполнялось уравнение Чэпмена — Колмогорова (то, что выполнены условия 1), 2), ясно; для условия 3) необходимо и достаточно >nss= 1> = О).
2. Пусть It, t^T,— случайный процесс на вероятностном пространстве (?2, $Г, Р), принимающий значения в измеримом пространстве (Х,96).
Мы говорим, что \t, t^T, — марковский процесс с данной переходной функцией P(s,x,t, Г), если для любых /, и е Т, t ^ и, Г е 96 почти наверное
Р{?ае=Г|T<t} = P(U lt, и, Г). (1)
Условие 2) п. 1 сразу обеспечивает выполнение одного из требований в определении условной вероятности— измеримость относительно &~^t-
Это определение непосредственно выражает идею зависимости будущего от прошлого только через настоящее: настоящее здесь выражается значением ^ процесса в момент времени /, будущее — значением ?и, и ^ а прошлое — сг-алгеброй <^t-
Из определения сразу следует, что
P{lu^T\h}=P(t,lt,u,Y) (2)
(точнее, правая часть — один из вариантов этой условной вероятности). Действительно, воспользуемся формулой Р (А \38) = М (Р (A \s4-) \.Щ, справедливой для любых а-алгебр зФ э 38, беря si- = 3~^ t, $ — а (|<):
Р е Г IУ = м (Р (/, It и, Г) I lt) = p (t, lt, и, Г).
В другом виде с тем же смыслом формула (2) переписывается так;
P{tu^T\h^x} = P(t, X, и, Г). (3)
Это позволяет находить переходную функцию, соответствующую данному процессу.
Эта интерпретация переходной функции делает также понятными условия 1), 3), 4) переходной функции (хотя вывести их из (1) можно лишь для всех х,
185
за исключением множества меры 0; 2)—чисто техническое условие: просто мы никогда не рассматриваем неизмеримых функций).
Теперь мы можем понять, о чем, собственно, данная выше задача 2. Мы знаем, что в случае двумерного гауссовского распределения условное распределение одной координаты при условии, что другая приняла значение х,— гауссовское со средним, линейно зависящим от х, и дисперсией, не зависящей от х. Итак, задача 2 — задача о переходных функциях гауссовских марковских процессов.
Поговорим немного о терминологии. В связи с формулой (3) для значения переходной функции P(s, х, t, Г) используется такое словесное выражение: вероятность перехода из точки х в момент s в множество Г в момент t.
Марковский процесс, определенный на множестве Т, состоящем только из целых чисел, — т. е. марковская последовательность — называется, согласно традиции, цепью Маркова (или марковской цепью). Особенно просты дискретные цепи Маркова, т. е. те, для которых X — конечное или счетное множество (а ст-алгебра SB, естественно, — ст-алгебра всех его подмножеств); среди дискретных цепей выделяются конечные цепи (для которых фазовое пространство конечно) .
