Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это — выражение того вида, что и (8), но только вместо непрерывной функции f в нем стоит разрывная. Пусть сначала множество Г замкнуто. Известно, что для любого замкнутого множества Г в метрическом пространстве X можно построить непрерывную функцию / на X, равную единице на Г и лежащую строго между нулем и единицей вне Г. (Например,в качестве такой функции можно взять f(x) = ехр{ —р(х, Г)}, где р — расстояние.) Функция fn принадлежит С для любой положительной степени п, поэтому функция
(psln(x)=\p(s, х, t, йу)Г(у)
X
непрерывна и стало быть, измерима по Борелю. Устремим п к бесконечности; получим, что функция
Р (s, X, t, Г) = jj Р (s, х, t, dy) хг (у) =
Л'
= \p(s, х, t, dy) lim Г (у) = lim \ Р (s, х, t, dy) fn (у)
J. П->оо П->оо
измерима по л: как предел сходящейся в каждой точке последовательности измеримых функций.
Чтобы перейти от замкнутых Г к произвольным борелевским множествам, мы пользуемся леммой 1 § 8.2. При операциях сложения непересекающихся множеств, вычитания из множества его части и монотонного предельного перехода измеримость функции P(s, х, t, Г) сохраняется, поэтому она имеет место для наименьшей системы ц(замкн.) множеств, содержащей все замкнутые множества и замкнутой относительно указанных операций; пересечение замкнутых
211
множеств замкнуто, ц,(замкн.) = о(замкн.) =о(откр.) = = 38х, и измеримость установлена.
Теперь покажем, что выполнено уравнение Чэпмена— Колмогорова. Имеем
X, U, с12)Г(г) = (Р*“Г)(х) = Р«(Р‘Т)(х) =
X
==^P(s, X, t, dy) ^ P (/, y, u, dz) fn (2).
X X
Переходя к пределу при п^оо, получаем
Р (s, х, и, T)=\jP (s, X, t, dy) Р (t, у, и, Г). (9)
X
Здесь в качестве Г можно взять любое замкнутое множество. Чтобы перейти к произвольным борелевским множествам, можно воспользоваться той же леммой, что и выше, а можно тем, что обе части (9) являются мерами как функции Г.
7. Приведем пример применения доказанной теоремы. Рассмотрим параболическое уравнение с частными производными
du(s. х) + 1 d*u (s X) =0> *e[(UL (10)
ds 2 дх2
с граничными условиями
ди (s, х) дх
ди (s, х) дх
= 0. (11)
= 1
Уравнение (10) описывает распространение тепла в стержне, причем граничные условия (11) соответствуют случаю теплоизолированных концов стержня. Существует единственное решение задачи (10), (11) в полуполосе (s, х)е(—оо, /]Х[0, П, удовлетворяющее при s = t условию
u(t,x)=f(x), (12)
где / — данная функция из С = С[0, 1].
Обозначим через Ps‘f(x) значение решения и задачи (10) — (12) в точке (s, х), s ^ t, х е [0, 11. При s = t имеем Pssf(x) = = f(x), т. е. оператор Pss равен Е. При s < t функция Pslf(x) дифференцируема по х и, следовательно, непрерывна; значит, оператор Pst переводит С в С. Ясно, что это линейный оператор. Далее, этот оператор является сжимающим и сохраняющим положительность— это следствие принципа максимума для параболических уравнений; с физической точки зрения это соответствует тому, что тепло в процессе теплопроводности не может переходить от более холодных участков к более теплым, и, стало
212
быть максимальная температура с течением времени не увеличивается, а минимальная не уменьшается. Легко видеть, что
<31
<31 , 1 д21 „ (31
Р« 1 = 1 потому, что —+ т-^-0, —
0.
I дх
Наконец, для того чтобы найти u(s,x), если дано, что и(и,х) = = f(x), можно решить уравнение во временном промежутке [7, и], а потом решить его во временном промежутке [s, if] с тем u(t,x), которое было получено; иначе говоря, Psuf = Ps‘(Ptuf), /еС, или Psu = PstPtu.
Итак, выполнены все нужные требования, и семейству операторов Pst соответствует марковское семейство. Впоследствии мы увидим, что класс марковских семейств, связанных с уравнением теплопроводности и другими параболическими уравнениями,— очень важный класс (это так называемые диффузии).
Заметим, что здесь нам приходилось говорить о решении уравнения в полуполосе (—оо, i]X[0, 1], а не в полуполосе, бесконечной вверх, как это нам привычно и как, разумеется, следует делать, если рассматривается не уравнение (10), а уравнение ди 1 д2и
-гг.----— - О. г)то связано с тем, что мы хотим, чтобы опе-
dt 2 дх2
ратор Psu представлялся в виде произведения операторов, где первым применяется оператор Р‘и, а вторым Pst. Для операторов, действующих на меры, порядок как раз противоположный;
ди 1 д2и
поэтому они связаны с решением уравнения '—2~ дх* =
«вверх», а не уравнения (10) «вниз». К этой теме мы еще вернемся в гл. 11.
