Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
<11, ?)< = (л — л) (С — ?)<•
Так как r\t, ^ можно изменить на любую константу, то <т), t,}t определяется неоднозначно; но эта неоднозначность тоже ограничивается прибавлением константы. Действительно, пусть fjj = + с, t,'t = \t + d;
тогда
(л/ - л!) (& - it) = К - -с) (?/ - lt — d) =
= (Л* — л/) {It — It) —с {It — lt) — d — rj,) + cd.
Так как ?, — \t и Л/ ~~ Л/ — мартингалы, то все члены, прибавляемые к компенсатору первого слагаемого, — константы.
В частности, квадратичным компенсатором действительной случайной функции т)г называется случайная функция <т), ti>; (она оказывается неубывающей) .
§ 7.3. Неравенства и равенства, связанные с мартингалами
В этом параграфе мы рассмотрим математические ожидания значений мартингалов и полумартингалов в случайный момент времени, причем в марковский момент.
1. Пусть Т — конечное множество; для простоты обозначений будем считать, что Г = {1,2, ..., N). Пусть п = 1, 2, ..., N,— субмартингал относительно семейства ст-алгебр \ ?= SF2 s ... Е ?Г N.
Задача 1. Пусть %—марковский момент, принимающий значения 1,2, N. Докажите, что почти наверное
Et<M(Lvl^x)- (1)
Если проинтегрировать (1) по всему Q, получим
Микротеорема задачи 1 довольно простая; следующая сложнее.
Микротеорема 1. Пусть — субмартингал, х — марковский момент, принимающий значения
170
1,2, ..., N. Тогда
Ml, < М|х. (2)
Доказательство. Имеем Mlx= 5 Ud,p+ J l2dP+...+ J l„dP =
{x = l} {x — 2} {t = N)
= ^,dP- 5 hdP+ 5 l2dP- 5 l2dp+...
U {x> 1} {т>1} { тг > 2}
.. . + ^ dP ^ dP -j- . . . -j- ^ \n dP ¦
{T>n-1> {t>n} f -c> Af — 1 > ^3)
Так как {т > n — 1} = Q \ {t — 1} e STn~\, имеем \ lndP =
= 5 min\&n-x)dP> 5 In-idP. (4)
{X>n~\} {Т>П-1}
Из (3) и (4) получаем (2).
Так же легко доказать, что (почти наверное)
(&,№). (5)
Формулы (1), (5) подсказывают нам, что имеет место Микротеорема 2. Пусть \п — субмартингал, х и о — два марковских момента, 1 ^ х ^ а ^ N. Тогда почти наверное
1т<М(|а|^т). (6)
Задача 2. Докажите эту микротеорему.
Из (6) вытекает, в частности, что MEt<IMEa для марковских моментов х, о, х ^ ст.
Для мартингалов неравенство (6), естественно, обращается в равенство; для супермартингалов оно меняет знак.
2. Посмотрим, можно ли перенести неравенства (для мартингалов — равенства) п. 1 на случай непрерывного времени. Пусть Т — отрезок, интервал или полуинтервал. Очевидно, идея должна состоять в том, чтобы приблизить произвольные марковские моменты х, ст марковскими моментами хп-*-г, ап->-(т, принимающими при каждом фиксированном п конечное число значений, воспользоваться для них результатами
171
п. 1; затем, воспользовавшись свойствами непрерывности реализаций получить |Тп——>-|а и вывести то, что нужно, при помощи теорем о предельном переходе под знаком математического ожидания. При этом придется предположить реализации непрерывными не то справа, не то слева — в зависимости от того, будет ли хп сходиться к т сверху или снизу. После некоторого размышления становится понятным, что хп должно сходиться к х сверху, и, стало быть, речь должна идти о непрерывности справа; ведь, скажем, хп = [2ят] /2я, вообще говоря, не марковский момент, а хп = ([2пх] -f- 1) /2я — марковский момент в силу задачи 9 § 6.1.
Итак, будем предполагать, что реализации ?/ непрерывны справа. Оказывается, это еще не обеспечивает сохранения результатов п. 1.
Например, пусть wt, t ^ О,— винеровский процесс, выходящий из нуля. Положим т = rnin {t: wt =—1} (если wt не достигает —1, полагаем т=оо). Это — марковский момент относительно семейства ст-алгебр
g-^t.
Задача 3. Докажите, что х с вероятностью 1 конечно.
Выбросим из пространства элементарных событий те элементарные события, для которых т=оо; тогда х будет конечным марковским моментом.
Мы видим, что 0 = w0 ф М (wx |^”<о) = Ма\ = — 1.
3. Таким образом, для перенесения результатов п. 1 на непрерывный случай нужно накладывать некоторые дополнительные условия, кроме непрерывности реализаций справа. Эти условия связаны с применением теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Некоторые результаты будут связаны с теоремой о мажорируемой сходимости или, общее, с применением равномерной интегрируемости; другие— с применением леммы Фату (естественно, это будут результаты типа неравенств). Мы не можем надеяться получить что-либо интересное из теоремы о монотонном предельном переходе, так как соответствующие результаты для суб- или супермартингалов с монотонными реализациями тривиальны.
Микротеорема 3. Пусть Т — отрезок или полуинтервал с правым концом ?/, t^T, — мартин-
