Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как определения s?d и ?Prog даны указанием свойств входящих в эти сг-алгебры подмножеств ТХ&, то определения согласованной с семейством ст-алгебр или прогрессивно измеримой случайной функции можно переформулировать:
случайная функция r\t, t е Т, согласована с семейством ст-алгебр ЗГt, если при любом (еГ случайная величина г)( измерима относительно iff,
случайная функция т]*, t^T, прогрессивно измерима относительно (&~t), если для любого t случайная функция t]s = т].5(со), рассматриваемая лишь для s е Т П (—ооХ], как функция от пары s, со измерима относительно ст-алгебры SS^tX&'t-
Понятие согласованности с данным семейством 0-алгебр выражает идею «независимости от будущего» наиболее непосредственно. Однако этого простого понятия, совершенно пренебрегающего измеримостью по временному параметру, оказывается недостаточно. Понятие прогрессивной измеримости предназначено для выражения, в сущности, той же идеи, но таким образом, чтобы лучше соответствовать техническим требованиям теории. Понятие предсказуемости скорее выражает не идею зависимости от прошлого, включая в него настоящее, а зависимости только от прошлого, без настоящего. Это будет яснее, когда мы рассмотрим свойства введенных понятий.
2. Микротеорема 1. Любая прогрессивно измеримая случайная функция и любая предсказуемая
153
случайная функция согласована с данным семейством о-алгебр (то есть &rog s s&d, &red ^ s&d); если в Т есть наименьший элемент to, то любая предсказуемая случайная функция при этом значении временного параметра есть константа: т](0(с°) — с = const.
На языке множеств, а не функций последнее утверждение звучит так: если А е ZPred, то
{а: (^0, со) ?= Л} = 0 или Q. (1)
Доказательство. Утверждение, касающееся &rog, вытекает из простого факта: функция f(x,y), измеримая относительно о-алгебры при лю-
бом фиксированном х ^-измерима по у.
Порождающие о-алгебру &red множества
A = ((t, °о)ПГ)ХЙ, В<=Ти (2)
принадлежат s?d. Действительно, докажем, что индикатор %A(s, со) = оо) п т (s) %в (ш) согласован с нашим семейством о-алгебр. При любом s функция х-4 (s, со) измерима по со относительно SFs: при s ^ t это тождественный нуль; а при s > t, s <=Т эта функция равна %в(со), она измерима относительно STt, а тем более и относительно о-алгебры &~s ^.SFt-
Отсюда вытекает, что и вся о-алгебра ZPred^sid.
Наконец, все множества вида (2) удовлетворяют условию (1); а именно, если t0 = min Т, a t^T, то
{со: (/0, со) ее ((t, оо) f| Т) X В) = 0.
Отсюда легко выводится, что (1) выполняется и для о-алгебры ZPred, порожденной множествами вида (2).
Микротеорема 2. Пусть Т — отрезок, конечный или бесконечный, состоящий из целых чисел: Т — {/0, /0 Н- 1. • • •, М> или Т = {h< \, tQ-\- 2, . . .},
или Т — {t е Z1: *<*,}, или T = Zl. Пусть задано неубывающее семейство а алгебр STt, t еГ, в пространстве Q. Тогда а) прогрессивная измеримость — все равно, что согласованность (т. е. SProg = s?d); б) случайная функция % тогда и только тогда предсказуема, когда она согласована с семейством а-алгебр t-\, t<=T), где при t = tQ = min Т в качестве ь берется тривиальная а-алгебра (0, й) (коротко это можно выразить так: <?red = s?d_i).
Доказательство, а) То, что iProg^sld, уже доказано; проверяем si-d^?Prog: для любой согласо-
154
ванной с семейством ст-алгебр ЗГt случайной функции принимающей значения в измеримом пространстве (Х,8в), для любого / еГ и любого С ^96
{(s, со): s < t, r)s (со) ёС} = U {s} X {w: r\s (со) е= С}.
Любое одноточечное множество {s} — борелевское; со-множество принадлежит ст-алгебре ЯГ$, тем более ЯГt (t^s); счетная сумма множеств из ^(X^i принадлежит этой ст-алгебре.
б) Чтобы установить tyred<=s4-d-\, достаточно проверить, что все порождающие ст-алгебру 3Pred множества вида (2) согласованы с семейством (ЯГt-i, t^T). Это вытекает из того, что
( 0е при s ^ t,
{со: (s, со) е (7 П (t, °о)) X -В} = j д при , >
но B^ZTt^ZTs-i (ведь для целых чисел из t <С s вытекает t ^ s — 1).
Обратно, пусть множество А согласовано с семейством ст-алгебр (ЯГt-1, t^T), докажем, что Л <=
ZPred. Имеем:
Л = U (3)
где Bt = {со: (t, со) е Л} — событие, принадлежащее ст-алгебре &~t-ь Докажем, что все слагаемые в сумме (3) принадлежат ст-алгебре tyred. Если в этой сумме есть первое слагаемое, т. е. слагаемое {^0}Х5г„, ^0 = min7, то либо Вг„=0, либо Bta=Q. В первом случае {/о}Х5|,= 0, и эт° множество принадлежит tyred, как и любой ст-алгебре в пространстве Т X во втором случае {/0} X Bt„ = {/0} X й = (Г X й) \ ((Г f| П Оо, oo))XQ) принадлежит ст-алгебре tyred как разность двух множеств из этой ст-алгебры.
Для не первого слагаемого:
« X Bt = ((Г n (t — 1, оо)) X Bt) \ ((Т n (t, оо)) X Bt).
Здесь событие Bt <= ?Гt-u так что множество-умень-шаемое по определению принадлежит ст-алгебре tyred; но в силу также и Bt^3~t, и мно-
