Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
т ч , т
М ехр с (S?) dt | ^ М ехр ^ ^ с (wt) dt ^
Задача 4. Докажите, что распределение случайной величины П^И слабо сходится к распределению
max w,. о< t< т 1
145
Задача 5. К распределению какого случайного процесса сходятся распределения [ih случайных ломаных Sh при h-+ оо?
Задача 6*. Приведите пример последовательности случайных функций l", t е [О, Т], с непрерывными реализациями, для которых все конечномерные распределения слабо сходятся при л-»- оо к конечномерным распределениям случайной функции г)( с непрерывными реализациями, но соответствующие распределения в пространстве непрерывных функций не сходятся: ^ h -** М'я •
5. Мы установили, что конечномерные распределения процесса Vя Уп (t) примера 5 § 1.2 сходятся к конечномерным распределениям процесса Z(t) с непрерывными реализациями. Конечно,, о сходимости в пространстве_С не может быть и речи — просто потому, что реализации Vя Уп (0 разрывны. Поэтому дл_я установления сходимости распределений функционалов от Vп Уп к распределениям тех же функционалов от Z приходится либо пользоваться функциональными пространствами, состоящими из разрывных функций, либо «подправлять» Vn Yn(t)> загоняя реализации в пространство непрерывных функций. В этой книге мы не сможем разобрать этот вопрос.
Глава 6
МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ, СВОЙСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ ОТ БУДУЩЕГО
§ 6.1. Марковские моменты
1. Пусть дано неубывающее семейство а-алгебр t в пространстве элементарных событий,
3~s при s ^ t. Все эти а-алгебры мы будем пред-
полагать под-а-алгебрами основной а-алгебры 3~.
С примерами таких семейств а-алгебр мы уже знакомы: таковы, например, а-алгебры 3~^t, определенные по какому-нибудь случайному процессу (см. § 3.1), или — в случае непрерывного времени
Дадим определение марковского момента.
Пусть т(со)—случайная величина, принимающая значения из Т или значение +оо. Мы говорим, что т — марковский момент (относительно данного семейства а-алгебр), если для любого t е Т событие
Рассмотрим пример — самый простой, когда и время дискретно: Т — {0, 1, 2, ...}, и ст-алгебры 3~0, 9~ь 9~г, ... — это просто конечные алгебры, каждая из которых порождается каким-то конечным разбиением пространства Q (требование
сводится в этом случае к тому, чтобы каждое следующее разбиение было мельче предыдущего). Пусть ?о, li, ?2, ... — симметричное случайное блуждание на целочисленных точках прямой, начинающееся из нуля. Его можно представлять себе так: производится ряд бросаний монеты, и |„ = = ?>1-1+1. если в п-м бросании выпадет герб, = |„-i—1, если выпадет решка (?0 = 0). В качестве ст-алгебр 9~п возьмем ст-алгебры 3r<n = cr{!A, k ^ raj. Здесь алгебра ?Го порождается целым разбиением пространства элементарных событий, т. е. в о войдут два множества: 0 и S; i — разбиением U = {|i =
= — П U {gi = 1}; sr2 — разбиением Q = {?, = — 1, |2 = — 2} U U(E.------1, i2 = 0}U{s. = l, i2 = 0}U(ii = l, ?2 = 2}; и Т. Д.
Рассмотрим случайный момент т первого достижения нашим блужданием точек ±2 (если случайное блуждание не достигает их никогда, полагаем х = оо):
— < + •
К<}6 У,
(1)
X —
{
пнп{й |?,| = 2},
если такие i есть;
+ оо
в противном случае.
147
Это—-марковский момент, потому что событие {х ^ л} при каж дом л складывается из элементов разбиения, порождающего ЗГ
Конечно, {т<О} = {т<1} = 0;
-2
.г
Рис. 15
Рассмотрим еще один пример, ством ст-алгебр 5Гп- Пусть
далее, {т< 2} = {?i = — 1
E2 = -2}UUi = 1. ^2 = 2}
(рис. 15), (т<3} = {т<2) {т < 4} состоит из элементов разбиения, входящих в {т < 2), и еще четырех:
Ui = -1, ^2 = 0, g3-------1.
64 = -2}UU.==-l, 62=0,
ь=1, ?.4=2} и a. = i,i2=
= 0, ?з = — 1, g4= —2>и и {g, = 1, Ег = 0, |з= 1, |4 = = 2}(рис. 16), и т. д. связанный с тем же семей-
{г: 1 ^ г <1 4, | | = 2}, если такие i
в противном случае.
Это — последний момент достижения точек ±2 от начала блуждания до момента 4, если к этому моменту какая-нибудь из точек ±2 была достигнута (мы не берем в качестве примера
-2-
izz:
последний момент среди всех натуральных [?;| = 2, потому что, оказывается, с вероятностью 1 число достижений точек ±2 бесконечно, и последнего момента нет). Случайный момент а—• не марковский. Действительно, например, событие {cr 2}, как легко проверить, осуществляется тогда и только тогда, когда |^4| Ф% оно не содержит целиком ни одного из событий, порождающих алгебру S'2, и не принадлежит этой алгебре.
Из рассмотренных примеров уже видно, в чем суть понятия марковского момента. Будем интерпретировать ст-алгебру 5Ft как совокупность всех событий, о наступлении или ненаступлении которых нам становится известно к моменту t. Тогда, если при каком-то со марковский момент принял значение t, то к моменту t нам это уже известно. Такова приведенная в качестве примера случайная величина т. Случайная величина ст не обладает этим свойством: скажем, в случае h = 1, ?2 = 2, g3 = 1, g4 = 0 (герб — герб — решка — решка) ст = 2, но узнаем мы об этом лишь к моменту t = 4 (потому что еще в момент < = 3 мы
