Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 3. Найдите корреляционную функцию для случайной функции вида \t = \ifi(t) + ... + y„fn(t), где fu-f„ —
произвольные числовые функции от ieT, a у,, •••> — некор-
релированные случайные величины с дисперсиями dt, ..., d„.
Методы, упомянутые в этом пункте, мы будем рассматривать в гл. 2—4.
2. С другой стороны, g((co) можно рассматривать как функцию от со, принимающую значения в пространстве функций, и изучать эту функцию со—>-1. (со) теми же методами и с тех же точек зрения, что и в теории обычных случайных величин или случайных векторов. Двумя основными группами понятий здесь являются понятия, касающиеся а) распределений и б) независимости и зависимости.
а) Для случайной функции можно рассматривать вероятности вида Р {?. е А), где А — множество в бесконечномерном функциональном пространстве. Частный случай таких вероятностей — конечномерные распределения. (В частности, вероятность вида Р {(?/,, • • ¦, ltn) е Ti X ... X — это вероятность
29
того, что траектория пройдет через ряд вертикальных «воротцев»; рис. 6.) Некоторые разделы теории имеют дело только с конечномерными распределениями не выше определенного порядка (с не более чем двумерными распределениями имеет дело корреляционная теория, а также довольно значительная часть
теории марковских процессов, связанная с теорией полугрупп).
Что касается собственно бесконечномерных распределений, то здесь есть несколько групп задач. t, tz ... tn t ai) Конечномерные
распределения случайной рис‘ 6 функции играют по отно-
шению к бесконечномерным ту же роль, что функции распределения по отношению к распределнию в R". Мы знаем, что в «-мерном случае вероятности Р{^еЛ}, А <= &п, одно-
значно определяются заданием функции распределения. Будут ли вероятности Р {?. ^ А}, где А — множество в бесконечномерном пространстве, однозначно определяться конечномерными распределениями? Далее, мы знаем, какими свойствами должна обладать функция, чтобы она была функцией распределения; аналогично возникает вопрос: какими свойствами должна обладать система конечномерных распределений, чтобы она была системой конечномерных распределений какой-либо случайной функции? Эти вопросы будут рассматриваться в § 5.1.
а2) Для распределений в конечномерном пространстве бывает, что случайная величина (вектор) почти наверное принимает значения из какого-то множества А, не совпадающего со всем Rl (Rn). Так, для вырожденного нормального распределения в Rn в качестве А можно взять линейное многообразие меньшего числа измерений; для показательного распределения А — [0, оо). В конечномерном случае обычно легко узнать, будет ли Р {I е А) = 1 или нет. В бесконечномерном случае речь идет о том, чтобы выяснить, обладают ли почти все реализации случайного процесса с данными конечномерными распределениями какими-то определенными свойствами.
30
Задача более проста в случае счетного Г; и, например, утверждения типа усиленного закона больших чисел (связанные с принадлежностью с вероятностью 1 реализации случайной последовательности множеству последовательностей со сходящимися средними арифметическими) можно переформулировать на языке конечномерных распределений.
Для несчетного Т ситуация сложнее; решать задачу о свойствах с вероятностью 1 в той постановке, которая приведена выше, нельзя. — Об этом будет идти речь в § 5.2.
Со «свойствами с вероятностью 1» связана группа теорем, известных под названием законов нуля или единицы (законов О—1). Теоремы этой группы утверждают, что при таких-то условиях (связанных с характером взаимной зависимости значений случайной функции) все события из такой-то а-алгебры имеют либо вероятность 0, либо 1. Те а-алгебры, о которых идет речь в законах 0—1, обычно получаются предельным переходом из o’-алгебр, порожденных случайным процессом (см. § 3.1); доказательство теорем такого рода может состоять в установлении того, что любое событие из рассматриваемой а-алгебры не зависит само от себя.
а3) Заметное отличие теории бесконечномерных распределений от конечномерных состоит в том, что, тогда как важным классом конечномерных распределений являются распределения, имеющие плотность, в бесконечномерном случае такого класса нет. Дело в том, что в конечномерном случае есть мера Лебега — особая мера; в частности, инвариантная относительно сдвигов и вращений и преобразующаяся простым образом при аффинных преобразованиях. В бесконечномерном случае такой привилегированной меры нет. Можно рассматривать плотности, но одних распределений относительно других. Не то, чтобы это сильно усложняло теорию, но придает ей непривычный вид.
Конкретные результаты в этой области (установление абсолютной непрерывности или сингулярности одного распределения относительно другого, нахождение плотности) могут получаться предельным переходом от конечномерного случая (см. § 5.3, а также § 7.4).
а4) Мы можем рассматривать вопрос о сходимости распределений в бесконечномерных пространствах — о таком важном для теории вероятностей виде сходимости, как слабая сходимость.
