Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
II. Для любого ЛеЖ случайная величина я (Л) имеет распределение Пуассона с параметром т(А).
III. Реализации я(-, со)—целочисленные меры.
Пуассоновские меры служат математическими моделями многих случайных распределений точек в некотором множестве, встречающихся при изучении явлений реального мира, таких, как распределение звезд (галактик) в R3; распределение на оси времени моментов вызовов, приходящих на телефонную станцию, и т. п. В этих моделях в качестве я (Л) берется число точек, поиавших в то или иное подмножество Л ^ X.
Установим существование пуассоновской меры.
23
Теорема. Если т — конечная мера на (X, 35), то существует пуассоновская мера л со средним т.
Доказательство. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин v, •••
..., • • • , из которых v — числовая, имеющая
распределение Пуассона с параметром т(Х); а ?,• — принимающие значения в (X, 32), с распределением т(-)/т(Х). И.,рассмотрим случайную меру л, сосредоточенную по l'-в точках , gv (это можно запи-
случайной меры пп. I, II (III доказывать нечего — это очевидно по построению). Для непсресекающихся А1, . . ., Ап
Р{л(Л1) = Ч, •••, n(An) = in} =
= S Р {v = k} • Р {я(Л,) = 1ь ..., n(An) = in\v = k} =
k — i{ — . . . — in — в X \ (Л: U • • • U Ап) | v = /г}.
Пользуясь независимостью |i, ..., \k от v, зачеркиваем условие v = k. Вероятность длинного события задается формулой полиномиального распределения; получаем, что это выражение равно
V
сать в виде формулы: л — Y Докажем для этой
k
= V • Р {из k случайных величин
i j + ... “Н i ^
, lk «1 попали в Л1? — в Ап,
X
k\
ij. ..in! (k — гi — ... — in)l
n
x(
oo
xZ
(m (X) — m (Ax) — ... — m {Ag))1 il
24
Это — произведение вероятностей соответствующих значений в пуассоновской распределении, что доказывает одновременно и независимость, и пуассоно-вость случайных величин л(Л5).
Для случая меры от, могущей принимать бесконечные значения, нужно условиться, что значит пуассоновское распределение с параметром +оо. Условимся говорить, что случайная величина, принимающая значения на расширенной числовой прямой, имеет распределение Пуассона с параметром +оо, если она с вероятностью 1 равна + °о.
Задача 8. Докажите, что если от — 0-конечная мера, то существует пуассоновская мера я со средним т.
Большую часть теории случайных процессов можно развивать на основе уже приведенных примеров, строя, исходя из них, целые важные классы случайных процессов. Следующие несколько примеров строятся, исходя из пуассоновской случайной меры.
7. Пусть л — пуассоновская мера на (0, оо) (т. е. на борелевских подмножествах этой полупрямой) со средним a-mes, где mes — одномерная мера Лебега, а а^О — константа. Пуассоновский процесс с параметром а, начинающийся из точки 0, определяется по мере л формулой 5г = л(0, /] (т. е. служит функцией распределения этой случайной меры).
Запишем аксиомы пу-ассоновского процесса в таком же духе, как для винеровского:
I. Для tQ<tx< . . . <tn приращения ?<, — ?<„, It, —
— ¦ ¦ ¦, \tn не" зависимы.
II. Случайная величина ?* — Is при s<t имеет распределение Пуассона с параметром a(t — s).
III. Реализации \t — непрерывные справа функции.
Реализации выглядят таким образом (рис. 4).
Здесь ть т2, ... — точки, в которых сосредоточена пуассоновская мера.
Задача 9. Докажите, что пуассоновский процесс возрастает только скачками величины 1.
8. Произведем независимое от пуассоновского процесса бросание монеты и определим новый случайный процесс y\t следующим образом: если монета
25
выпадет гербом, положим т]< = (—1)4 а если решкой. т)^ = (—-1)^+|. Траектории процесса т]г имеют следующий вид (на рис. 5 изображен случай, когда монета выпадает решкой).
Рис. 5
Задача 10. Найдите конечномерные распределения процесса Г)(.
9. Пусть т ¦— мера на правой полуплоскости (0, оо) X R1- Переменное-абсциссу будем интерпретировать как время и соответствующим образом обозначать; ординату будем обозначать и. Пусть я— пуассоновская мера со средним т. Определим случайный процесс t ^ 0, формулой
%t = ^ ^ f (s, «) я (ds du). (3)
(0, f] R'
Если мера я сосредоточена по единице в точках (ть U]), (т2, и2), ... (точки занумерованы в порядке возрастания первой координаты), то процесс начинается в точке |о= 0, в точке xj делает скачок величины /(ть ui), в точке тг — величины /(тг, иг) и т. д.; а между скачками процесс остается постоянным. Это — обобщение пуассоновского процесса.
Задача 11. Докажите, что It, — — Е/• • •
. . ., %tn — hn_, независимы при t0 < t\ < ... < t„. Найдите характеристическую функцию приращения
Ъ --- Is.
10. Приведем еще пример случайной функции с «экзотической» областью определения. Пусть на вероятностном пространстве (Й, ?Г, Р) задана случайная величина ?, причем М|?|<оо. Обозначим через & множество всех под-а-алгебр а-алгебры ?Г. Для любой 0-алгебры si S (т. е. ie5) определено условное математическое ожидание М(?|*^), причем определено, вообще говоря, не единственным спосо-
