Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
26
бом (хотя любые два варианта M(EI-s^) равны друг другу с вероятностью 1). Поставим в соответствие каждому ie?t случайную величину L?— произвольный вариант М (Е | s4-). Тогда L?, — случайная
функция.
Задача 12. Докажите., что система случайных величин равномерно интегрируема.
§ 1.3. Обзор методов теории случайных процессов
Можно классифицировать разделы теории случайных процессов по применяемым методам и соответственно по тому, какие именно стороны в изучаемых процессах являются объектом нашего внимания.
1. Случайный процесс является функцией от / еГ со значениями в множестве всех случайных величин. Для него можно изучать те же вопросы и теми же методами, что и в теории функций, в математическом анализе. Так, раздел книги М. Лоэва «Теория вероятностей» (М.: ИЛ, 1962), посвященный случайным процессам, носит название «Элементы случайного анализа». Пожалуй, это название следует отнести только к части теории, где изучаются понятия сходимости, непрерывности случайных функций, производной, интегралов и т. п. Некоторое отличие от обычной теории состоит в том, что здесь нет фиксированного одного естественного понятия сходимости, а рассматриваются различные виды сходимости, соответственно непрерывности, производной и т. п.
Из пространств случайных величин, рассматриваемых в таких аналитических задачах, для нас важнейшим является евклидово пространство интегрируемых в квадрате случайных величин L2(Q, , Р). Скаляр-
ное произведение определяется в нем так:
(Е, T)) = MEfi.
Если случайная функция ?< при любом (еГ интегрируема в квадрате, то определено скалярное произведение
(Еь Es) ME/ls*
Эта функция от двух переменных задает ?*, (ёГ, однозначно с точностью до изометрического линейного преобразования пространства IA
27
По-видимому, не имеет смысла рассматривать только моменты второго порядка не рассмат-
ривая момента первого порядка; поэтому в качестве характеристик интегрируемой в квадрате случайной функции вводятся математическое ожидание М|( и корреляционная функция' К (t, s) (или K\{t, s), или Ku{t, s)), которая определяется как ковариация случайных величин It и %s, t, s е Т:
K(t, s) = cov(5„ У.
Значение K(t, s) при s = t — это не что иное, как дисперсия gf.
Корреляционная функция очень простым образом связана с начальными моментами:
к((, 5)=ма,-м^щ
или, через скалярные произведения:
К((, s) = (gf, Is)-(It, 1)(1, У-
Математическое ожидание и корреляционная функция задают случайную функцию однозначно с точностью до изометрического линейного преобразования L2, оставляющего на месте вектор 1.
Задача 1. Докажите, что любая корреляционная функция обладает свойством неотрицательной определенности: для любых комплексных с,- и любых
t.-^T сумма ZcfckK(t„ tk) действительна и неот-
1. k ‘
рицательна.
Легко вывести такие свойства корреляционных функций, как | К (t, s) | V/C (t, t) К (s, s), К (s, t) — К (t, s) и т. д.; но все подобные свойства являются следствиями свойства неотрицательной определенности (оно, как мы увидим в дальнейшем, необходимо и достаточно для того, чтобы функция могла быть корреляционной).
Если имеются две случайные функции t е Т, и r\t, t е Т’, можно рассмотреть их взаимную корреляционную функцию
Klr](t, s) = cov(lf, ту.
Совместная корреляционная функция и г|<, t еГ, определяется как матричная функция
\K4(ts) KBit'S))'
Легко понять, как определяется совместная корреляционная функция более чем двух случайных функций.
28
Раздел нашей теории, занимающийся только моментами первых двух порядков, — корреляционная теория случайных функций — это самый простой раздел. Случайные процессы здесь рассматриваются, в сущности, как кривые в гильбертовом пространстве. В рамках корреляционной теории можно рассмгщ>№-. вать только линейные функции от случайных величин (или линейные преобразования случайных функций), потому что, например, зная М| и Dg, мы еше не знаем М sin2?. Для многих понятий теории случайных процессов существуют их упрощенные аналоги, касающиеся только первых двух моментов. Обычно такие понятия обозначают тем же термином, но с добавлением слов «в широком смысле»; так, независимость «в широком смысле» — это некоррелированность и т. п.
Комплексные случайные величины мы рассматриваем здесь вовсе не из-за стремления к предельной общности. Дело в том, что наибольшие достижения корреляционной теории относятся к стационарным случайным процессам (см. § 4 этой главы и гл. 4). Этому объекту случайного анализа в обычном анализе отвечают, скорее всего, периодические функции, а разложение периодических функций в ряд Фурье значительно лучше выглядит в комплексной форме.
Задача 2. Найдите математические ожидания и корреляционные функции для случайных функций примеров 1, 2, 4, 5, 7, 8 § 2.
