Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Несколько слов о порядке ссылок в тексте. Книга состоит из шести глав, разбитых на параграфы, большинство которых (но не все) в свою очередь делится на разделы. Параграфы и разделы нумеруются одной арабской цифрой, главы — римской, нумерация формул в пределах каждой главы сплошная. Отсутствие точного указания при ссылках всегда подразумевает слово „данный'4. Например, (56) — формула (56) данной главы и (II. 33) — формула (33) из (другой) гл. II. Аналогично, п. 2 — раздел 2 данного параграфа данной главы, § 3 — параграф 3 данной главы, п. 3.2 — раздел 2 § 3 данной главы, п. IV.2.4 — раздел 4 § 2 гл. IV, § III. 5 — параграф 5 гл. III, и т. п. Повсюду используется система единиц с h = с = 1.
Мне остается лишь выполнить приятный долг и поблагодарить всех, кто помог в работе над книгой: Л. Д. Фаддеева и В. А. Франке, прочитавших рукопись и сделавших ряд ценных замечаний, которые учтены в окончательной редакции текста; А. Г. Басуева, Н. М. Боголюбова, А. К. Казанского, А. В. Кузьменко, Ю. М. Письмака и Р. А. Раджабова, оказавших на определенном этапе существенную помощь в оформлении рукописи. Я признателен также всем сотрудникам и аспирантам кафедры теории ядра и элементарных частиц физического факультета Ленинградского университета за многочисленные полезные обсуждения вопросов, затронутых в книге. Но более всего своим появлением на свет рукопись обязана моей жене, сумевшей создать необходимые условия для работы. Ей я и посвящаю эту книгу.
ГЛАВА I.
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. ПОЛЯ И СВЕРТКИ
1. Каноническое квантование, В классической физике динамика системы с конечным числом степеней свободы определяется лагранжианом который задается как функция
обобщенных координат Q == {Q\. . . qn) и скоростей qx = dqjdt. Классические уравнения движения формулируются в виде требования стационарности функционала действия S = = fdt2?(t).
Квантование ,классической системы осуществляется обычно в рамках канонического формализма; т. е. на языке координат и импульсов. Импульсы pi, сопряженные с координатами
Ці, определяются соотношениями pi = d3?\dqt. Если эти соотношения однозначно разрешимы относительно скоростей, то говорят, что лагранжиан невырожден. В этом'случае классический гамильтониан Ж = ^PiQi — 3? можно рассматривать как некоторую известную функцию координат и импульсов.
При переходе к квантовой теории координаты и импульсы
л л
реализуются линейными эрмитовыми операторами qx и ри действующими в некотором гильбертовом пространстве и удовлетворяющими - каноническим перестановочным соот-
Л А Л Л
ношениям qspm—pmqs = ibsm. Квантовым аналогом классиче-
ской наблюдаемой F(p, q) считается оператор F(p, q), в частности, квантовый оператор энергии — гамильтониан H —
Л л
есть по определению Ж(р, q). Эти правила перехода от классической теории к квантовой составляют хорошо известный рецепт канонического квантования.
А Л
Функция некоммутирующих операторов Ж(р, q) определена неоднозначно даже при наложении естественного добавочного требования эрмитовости. Прежде всего имеется про-
извол в расстановке множителей р и q, т. е. произвол в вы-
T
боре формы записи классического гамильтониана Ж(р, q). Например равным классическим функциям P2 + ^2 и (p-\-iq)(p—Iq) соответствуют при квантовании разные операторы. Это значит, что данной классической системе соответствует, вообще говоря, много разных квантовых систем, и выбор одной из них всегда является результатом доопределения.
Кроме этой „чисто алгебраической" неоднозначности существует также неоднозначность выбора реализации операто-
АЛ
ров р и q: коммутационные соотношения не определяют ее единственным, хотя бы с точностью до унитарной эквивалентности, образрм (известная теорема единственности фон Неймана относится лишь к вейлевской форме перестановочных соотношений). Выбор реализации требует привлечения дополнительных соображений относительно характера канонических переменных р и q: являются они переменными типа декартовых координат и импульсов или переменными типа угол — момент и т. д. Для рассматриваемых обычно конкретных систем существует некоторая естественная реализация, которая всегда и выбирается. В случае декартовых координат и импульсов — это общеизвестные представления операторами умножения и дифференцирования
Рецепт канонического квантования со всеми этими оговорками легко переносится и на системы с бесконечным числом степеней свободы, обобщенные координаты которых, как правило, описываются „полем" q(x) или конечным набором таких полей. Аргумент х играет роль непрерывного индекса, нумерующего координаты, лагранжиан будет- теперь не функцией, а функционалом координат q(t, х) и скоростей
q(t, х) на поверхности t = const, в определении импульса обычная производная! заменится вариационной, а б-символ в перестановочных соотношениях заменится б-функцией [1]:
?(x)i>(x')->(x') ^(x) = /S(x-x'). (1)
В этой книге термин „поле" будет употребляться для обозначения обобщенных координат любых систем, независимо от того, идет ли речь об истинной теории поля или о системе с конечным числом степеней свободы. В частности, координата частицы в механике рассматривается как поле, зависящее только от времени. Для сокращения записи и унификации формул часто будут использоваться универсальные обозначения, в которых весь набор обобщенных координат описывается единым полем (p(x)=(p(t, х). Аргумент X обозначает при этом всю совокупность непрерывных и дискретных переменных (индексов), кроме времени, от которых зависит поле. Для комплексных величин ф и ф+ считаются разными компонентами единого поля (ф=фЬ ф+=ф2) и различающий эти компоненты индекс включается в аргумент х. Символ f dx...
