Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вариация действия 8Sp есть интеграл по времени от вариации лагранжиана ЪЗ! (t). Поэтому функциональное среднее от
квадрата 8Sp выражается двойным интегралом по t и V от функционального среднего произведения ЪЗ' (t)o3 (V). Последнее можно выразить через статистическое среднее дайсонова Г-произведения соответствующих операторов в евклидовом гай-зенберговском представлении, пользуясь связью между функциональными интегралами и виковскими Г-произведениями и правилами перехода к представлению взаимодействия в функциях Грина (аналог формулы (3)):
Ш (t) Ш (V)> = ((7Ъ \b?(t) Ъ2(Г)\)). (38)
Символом <...> обозначено функциональное среднее с весом
expS?((p), b3?(t) —соответствующий функционалу bS?(t) оператор в евклидовом гайзенберговском представлении. Если вариация потенциалов не выводит 3? (t) из класса вещественных (в псевдоевклидовом варианте) лагранжианов, что мы будем
предполагать, то шредингеровский оператор ЬЗ? = 0,2? (0) эрми-
тов, тогда как ЬЗ? (T) обладает комбинированной эрмитовостью. Покажем, что в этом случае среднее значение в правой части (38) неотрицательно; этого более чем достаточно для доказательства свойств выпуклости.
Действительно, считая лагранжиан 3\t) и его вариацию Ъ9?
/\ /ч
бозонными величинами, имеем TD [b3?(t)b3?(V)]—§(t— V) X X 8.27 (О ЪЗ (V) + (t^_ V). Рассмотрим среднее значение произ-
/ч /\
ведения ЪЗ'(t)o3'(V), которое пропорционально следу операто-
/ч /ч
ра ЪЗ? (t) 13(V) ехр [— ?H], где H — полный гамильтониан теории с действием Sp. Искомый след представляется в виде двойного рода
2 I (л I г? I т) I2 ехр-[ - №п + {En -Em)(t-, (39)
пт
где \п)—полная система собственных состояний Н; En— соот-
/ч
ветствующие собственные значения; ЬЗ?— оператор в шрединге-ровском представлении. Все члены ряда (39) положительны; предположив, что ряд сходится, заключаем, что его сумма положительна, и это доказывает искомое утверждение, поскольку второе слагаемое Г-произведения отличается лишь перестановкой аргументов t и f.
164
Итак, мы доказали неотрицательность вторых вариаций по потенциалам функционалов G$(A) и W$(A) = ]r\G$(A). Функционал Q$(A), определенный соотношением W$(A) =—?Qp(A), имеет смысл сдвига термодинамического потенциала из-за добавки взаимодействия Sp" и аналогичен сдвигу энергии основного состояния в теории поля. Из сказанного выше следует, что Q$(A) является, как и сдвиг энергии е(А), выпуклым вверх функционалом потенциалов, т. е. его вторая вариация отрицательна.
Как ивп. IV.3.2, в процессе доказательства неявно предполагается устойчивость рассматриваемой системы, т. е. ограниченность снизу гамильтониана. Действительно, ряд (39) определяет функцию Грина в области О^/'^С ^ ?- Во всех точках этой области коэффициенты при энергиях En и Ет в показателе экспоненты в (39) отрицательны. Отсюда видно, что росг (En оо) собственных значений благоприятствует сходимости ряда, но если гамильтониан H не является ограниченным снизу и существует последовательность En -*—оо, то ряд заведомо расходится и доказательство теряет силу.
10. Выпуклость логарифма статсуммы. Обсудим важный частный случай доказанного в предыдущем разделе общего утверждения — свойства выпуклости W = InZ по отношению к числовым параметрам, входящим линейно в показатель р-матри-цы. Пусть а = — ?H = H(Xіdi, где х\ — вещественные числовые коэффициенты, аг — некоторые эрмитовы операторы. Параметры Xi будут рассматриваться как независимые переменные. В качестве одного из них может быть взят сам множитель ?, прочие Xi могут иметь разный смысл — химический потенциал, однородное внешнее поле и т. п. Например, для большого канонического ансамбля — ?fi = —?H' + ?uN, где H'— обычный гамильтониан, N — оператор числа частиц. В этом случае можно взять Xx = —?, X2 = ?p,, а} = H', а2 = N.
Логарифмические производные статсуммы a^dW/dxi = ((а*)) определяют переменные а., термодинамически сопряженные с Х{. В приведенном выше примере с переменной Х\ сопряжено среднее значение энергии, а с X2—среднее значение числа частиц.
Выпуклость вниз W как функции переменных х формально следует из результатов предыдущего раздела, но мы приведем еще один вариант доказательства. Имеем
lW= ул™ЪХ(= V(^))Sx1 = ((8а)) = Z-1 tr [Sa ехр а].
Воспользовавшись затем хорошо известной формулой
Ь ехр а
dt ехр fa (1 — t)\ Sa ехр [/а],
(40)
о
165
нетрудно получить следующее выражение для второй вариации:
г
8(2) w = ±r\dt\ ((? (t) 5а (0.))) - ((За))4], (41)
в котором 6а(0—оператор ба в евклидовом г а й з е н б е р г о в с к о м представлении, oa(0) = oa. Правая часть (41) имеет вид дисперсии, а положительность соответствующего среднего значения квадрата, т. е, первого слагаемого в правой части (41), немедленно следует из доказанной в предыдущем разделе положительности функции ((Oa(Z)Oa(O))) для эрмитовою при / = 0 оператора 6а; как уже неоднократно говорилось, положительность дисперсии является формальным следствием положительное!:: среднего значения квадрата.
Из (39) видно, что среднее квадрата может обратиться
в нуль лишь тогда, когда оператор Ь& равен нулю; отсюда следует, что дисперсия (41) может обратиться в нуль только если oa(0 — ((oa)) =0, т. е. тогда и только тогда, когда оператор 6а крат ей единичному.
