Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем для удобства явные выражения для полей и свертки Де — (A?2)e*
ф (*) = 2 а*ф* M ехр [ - eat], (х) = 2аа+ф* W ехР MJ > (6>
а а
>
Ае(X, л') == (Д?2)е.«') = 0(* —*')2 ф« (X)Ф«(X') ехр ва [t'-t].
а
Нам понадобятся также явные выражения для логарифма*
153>
статсуммы и средних значений операторов а+аа, которые для гамильтониана (11.21) легко находятся [37]:
W9 = InZ0 = - X^In[I -х?«], 6. = exp[-?e.l, (7)
а
«а+а.» = й. = Єв/(1-х5в). (8)
Как всегда, и = ±1 в зависимости от статистики. Формулы (7), {8) обобщаются непосредственно на случай сплошного спектра. Рассмотрим теперь простейшие функции Грина (1) для сво-
Л Л
•бодного поля. Среднее значение одного оператора ^ или ty+ равно, очевидно, нулю. Для двух операторов
-0=«П$(*)И*')1» = М*. + •{•(*) И*')]»,
(9)
где Де — евклидов пропагатор (6). В универсальных обозначениях ф = срь 4»+ = «р2, свертка g есть ?12, g2t = v.g]2, gn = gTi = 0.
•Среднее от нормального произведения в (9) выражается
•через пх:
«TV [\(х) Ф_+(*')]» =х « ^+(X') <?(*)» =
= * 2 л«Ф« (x) ф: (х') ехр еа - 0. (Ю)
а
Добавив сюда Ае, получим явное выражение для температурной ^функции.
3. Среднее значение оператора в ЛГ-форме. Для вычисления среднего значения произвольного оператора в iV-форме
достаточно вычислить функционал <gWexpcpA> и затем пользоваться соотношениями типа (1.12). Для комплексного поля
ф, символ срЛ понимается как ф+Л + A*ty = ^(a?ca+ctciidi
а
где
Ca = ^ dx А (х) Ф*. (х) exp zat, с+ = J ^xA+(X) Фа (x) ехр (-г^). (И)
Мы будем считать, что интегрирование по времени в линейной
'форме фЛ н, следовательно, в (11) производится только по интервалу [0, ?].
ДЛЯ боЗОННОГО ПОЛЯ ВеЛИЧИНЫ Са, Ca+ ЯВЛЯЮТСЯ обыЧНЫМИ,
«а для фермионного — антикоммутирующими числами, т. е. образующими грассмановой аглебры. Спектр одночастичного гамильтониана <g опять предполагается чисто дискретным.
к
Очевидно, что среднее значение Л^ехрфЛ распадается на произведение средних для каждого а и потому достаточно вычислить среднее для одноуровневой задачи:
F (с, C+) = <^ехр а+с ехр с+а^> == = Z*1 tr [exp (— ?sa+a) ехра+?ехр с+а], (12)
где обозначено Z=trexp(—?s a+a) и учтено, что iVexp(a+?+c+a)= = exp a+c exp c+a. Для фермионов вычислить (12) просто. Вследствие антикоммутативности символов с, C+ и а, а+ (под знаком iV-произведения) имеем expaV=l+aV и expс+а = 1 -f-с+а,
откуда
F(c9 C+) = 1 -f- сс+ <а+а> = 1- дЛ = ехр (— /гс+с).
Перемножив эти экспоненты для всех уровней а и воспользовавшись явными выражениями (11) для с, ?+, окончательно получим
<tNexp [ Ф+Л + А*-$]» = ехр і4+Ж4, (13)
причем ядро квадратичной формы d(x, х') оказывается в точности равным среднему yV-произведения (10) для фермионного поля.
В бозонном случае функцию (12) вычислить сложнее, но окончательный ответ (13) не изменяется. Приведем это вычисление.
Величина Z в правой части (12) известна:
oo
Z = 2 ехр (-M) = (1-І)-4, (14)
п = 0
где ? = ехр( — ?s). Остается вычислить сумму
oo
2 ln <п J ехр а+с ехр с+а | п>у
л=0
которую удобно переписать в виде
od
s 7ГГ(lpky)"<01ехру+аехра+с ехр с+аехр а*у 10> +
h=O У=у
(15)
воспользовавшись тем, что \п> = (п!)~~112(а+)п\0>.
Произведение операторных экспонент приводится к нормальной форме по правилу (1.49), причем свертка аса4" считается равной единице, а все прочие — нулю. В результате для матричного элемента в (15) получим выражение ехр [y+y~f
155
-j- y*c-\-c+y], подставив которое в (15) и сделав сдвиг у -> у-{-с, у+ у+ + C+, приведем (15) к виду
C+¦
ехр(-с+с) (jf^J ехр (у+у) \у_е> у+=
Представив затем множитель exp(y+j>) гауссовым интегралом ехр (у+у) — const J dxdx+ ехр [— х+х -{-у+х + х+_у],
можно выполнить явно дифференцирование по у, у+ и потом собрать ряд по п. В результате опять получится гауссов интеграл, взяв который и поделив результат на (14), получим ответ
F (с, с+) = ехр(пс+с), где я = ?/1—I — среднее значение (8) для бозонов. Отсюда точно так же, как и для фермионов, придем к формуле (13), причем ядро d окажется теперь средним значением (10) для бозонного поля.
Итак, для обеих статистик ответ дается формулой (13). При выводе предполагалась дискретность спектра одночастичной задачи, но ответ (точнее, ядро d) допускает прямой предельный переход к непрерывному спектру и мы будем считать его верным для любого спектра.
Мы получили (13) для конкретного поля (6), но вполне ясно, что равенство такого типа будет иметь место в любой теории.
Действительно, при доказательстве того, что среднее МехрсрЛ собирается в гауссову экспоненту, использовались лишь линейность полей по операторам а, а+ и свойства последних, так что эта часть доказательства остается в силе для любой теории осцилляторного типа (свободную частицу п. И.1.2 мы исключим пока из рассмотрения). С другой стороны, если уже получена формула типа (13) с некоторым неизвестным ядром d, то последнее обязательно определяется соотношением типа (10), что ясно из сравнения квадратичных по Л вкладов в обеих частях равенства. Эти рассуждения доказывают формулу
