Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ПОЛЕВЫХ СИСТЕМ
1. Определения. В квантовой статистике равновесное состояние системы при температуре T описывается матрицей плотности р = ехр [—? Н], где ?=l/?7\ k — постоянная Больц-мана, H—обобщенный гамильтониан. Для канонического ансамбля обобщенный гамильтониан совпадает с обычным, а для большого канонического «ансамбля H = — ^N, где — обычный гамильтониан (оператор энергии), N — оператор числа частиц, р, — постоянная, называемая химическим потенциалом. В дальнейшем мы будем называть H просто гамильтонианом.
По определению статсумма Z есть след матрицы плотности: Z = trp. Среднее значение ((a)) произвольного оператора а определяется равенством ((a)) =Z-1tr(pa).
Термодинамика системы полностью определяется статсум-мой или эквивалентными ей функциями InZ= W = —?Q; функцию Q называют термодинамическим потенциалом.
В трансляционно-инвариантных системах InZ пропорционален полному (бесконечному) объему fdx и нужно переходить к удельным величинам; равенство InZ = ?p / dx определяет давление р для газообразных или жидких пространственно-однородных систем.
Важным объектом изучения для полевых систем являются температурные функции Грина поля, которые определяются как средние значения дайсоновского Г-произведения [34—36]:
Нп*(хх ... Xn) = ((TD[yr fa) .., <рг (*„)])), 0)
151
А
где фГ(Х)—операторы поля в евклидовом гайзенберговском
представлении. Сразу же оговоримся, что равенство (1) считается определением функций Грина лишь при условии, что временные аргументы всех операторов поля заключены внутри интервала [0, ?] (об их продолжениях см. п. 5).
При нулевой температуре вклад в средние значения дает лишь основное состояние и температурные функции (1) переходят в евклидовы функции Грина без вакуумных петель, которые рассматривались в гл. IV.
Отношение р-матриц р~1р = ехр [?H0] ехр [— ?H] =Ue (?, 0)
совпадает с евклидовым оператором развития (IV. 1) для интервала времени [0, 3]. Представив его обычной Г-экспонен-той (IV.2), получим
P = роис (3, 0) = porD ехр
?
о
(2)
Переход к представлению взаимодействия в (1), (2) осуществляется с помощью формул (1.60), (1.70), которые справедливы и для евклидовых операторов поля (см. замечание после фор-.мулы (1.70)). Учитывая, что времена полей в (1) заключены по предположению внутри интервала [0, ?], в соотношении (1.70) можно положить ті = ?, Т2 = 0. Получим
td [? г C*i) ••• TrW] = = 1171®, O)T[?(X1)... ?(*я) ехр ?*(?)], (3)
где ф(х)—евклидовы операторы поля в представлении взаимодействия; Sv$ —"температурный функционал взаимодействия, представляющий Sym-форму показателя экспоненты в (2). Функционал отличается от евклидовою функционала Sve только тем, что в нем интегрирование по времени производится не по всей оси, а лишь по интервалу [0, ?].
Равенство (1.60) позволяет заменить дайсоновскую Г-экспо-
ненту в (2) на виковскую T ехр Sv$ (ф). В функциях Грина оператор развития из (3), группируясь с точной р-матрицей в операции усреднения в (1), превращает ее в свободную р-матрицу согласно (2), и мы получаем
И (у ~ \— <Т Ii(Xi) ' ' • у (хп) ехр &>?( у )]> (л\
Пп3(Хг ... Xn) — -—- , * V -. (4>
Символом «...» здесь и далее обозначается усреднение со свободной р-матрицей ехр [—?H0].
Числитель в правой части (4) будем называть полной температурной функцией Грина и обозначать G71 ?, сами Нп$ есть
152
функции Грина без вакуумных петель. Знаменатель в (4) равен отношению статсумм:
Z/Z0 = «Ue(?, 0)» = «rexpSvP(T)>. (5).
Виковские Г-произведения в (4), (5) можно, как обычно, привести к нормальной форме, соответствующей сверткой будет евклидов пропагатор (IV.3). В аналогичные (4), (5) формулы теории поля входило вакуумное ожидание, которое для операторов в Л/-форме очень просто вычислялось по правилу (1.87). Теперь же нужно найти заменяющую (1.87) формулу для вычисления средних значений от операторов в Л/-форме, что будет сделано в п. 3.
С точки зрения физики больший интерес представляют не температурные функции (1), а так называемые временные функции Грина при конечной температуре, которые отличаются от (1) только тем, что операторы под знаком Г-произведения берутся не в евклидовом, а в обычном гайзенберговском представлении. Равенство (3) остается верным и в этом случае, но все величины в нем становятся псевдоевклидовыми; комбинация псевдоевклидового оператора U~l(?, 0) в (3) с евклидовой р-матрицей, по которой производится усреднение в (1),,не дает простого объекта, что не позволяет построить простую диаграммную технику для вычисления временных функций. На практике-их находят путем аналитического продолжения по всем временам температурных функций (1), для которых оказывается возможным построить, исходя из (4), диаграммную технику.
2. Свободная теория. Рассмотрим наиболее важную для статистики нерелятивистскую теорию § II.2 и для простоты предположим, что одночастичный гамильтониан <§ имеет чисто дискретный спектр.
Операторы свободного поля и их свертки получаются из соответствующих выражений § И.2 стандартной заменой / -> —it, свободный гамильтониан H0 определен соотношением (11.21). В этой главе нормальное произведение будет пониматься в его простейшей форме Na как для бозонов, так и для фермионов.
