Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
прив — ехр
Io о (*
2'1^А2~Щ; Ufx ехр ЛА(х). (68)
Именно в статистике неидеального газа впервые были использованы те топологические понятия теории графов и сим-метрийных коэффициентов, о которых говорилось в гл. I; там же впервые была доказана теорема о связности логарифма (первая теорема Майера). Значительно позднее эта техника появилась в квантовой теории поля в связи с диаграммами Фейнмана и уже оттуда была заимствована в аппарат квантовой статистики. Довольно любопытная история.
2. Газ с многочастичными силами. Эта задача представляет для нас интерес главным образом потому, что она приводит к диаграммной технике, не укладывающейся в рамки обычной теории графов. В этом отношении классический газ с многочастичными силами сложнее любой квантовой теории поля.
Введем в показатель в (62) многочастичные потенциалы:
oo
Л'- u I (
+ 2 Л«(х/> х*) + 2 лз (хй хк, хт) + . . .1. (69)
і i<k<m J
Число потенциалов An не ограничивается, но в интеграле с заданным N содержатся, естественно, лишь An с n^N. Для данного An суммирование в (69) производится по всевоз-
176
можным различным группам из п попарно несовпадающих индексов, набор Z1 </><...< In однозначно параметризует такую группу. Введя майеровские потенциалы ...//2 eze — 1 +
+ ехр An(xiv . .х7/|), перепишем (69) в виде
со
X[JeXpA1(Xi)H(IIy П 0+?/*«)•••• (7O)
/ Kk i<k<m
Диаграммы, соответствующие отдельным членам произведения (70), будем называть суперграфами [46]. Для задания нумерованного суперграфа с вершинами нужно указать, какие пары вершин связаны потенциалом (линией) gik, какие тройки вершин — потенциалом gium, какие четверки — потенциалом gikms, и т. д. В обычных графах вершины связываются только парным}! потенциалами, т. е. линиями, и каждый нумерованный граф однозначно задается матрицей смежности я (см. п. 1.4.2): по определению Пік = 1, если вершины і и k связаны линией, и так = 0 в противном случае. Д.ія задания нумерованного суперграфа нужно ввести более сложный объект — показатель смежности [46]: л = {лцг, яцгт, . ..}. По определению символ тс. . симметричен относительно любых перестановок индек-
сов и для заданного набора индексов принимает значение 1 или U в зависимости от того, связана или нет соответствующая группа вершин суперграфа потенциалом gt . . В частности,
1 її
Пік есть обычная матрица смежности. Символы л, , явля-
Ю7 с я тензорами по отношению к группе перестановок вершин: 7S- і =Р ь • • . Р; ь 71i, ъ , где P — перестановочная мат-
рица (см. п. 1.4.2).
Определенные в п. 1.4.2 понятия равенства, эквивалентности, группы симметрии нумерованных графов непосредственно обобщаются на с\перграфы, если заменить повсюду термин ,,матрица смежности" на ,,показатель смежности". Число эквивалентных, но различных нумерованных суперграфов определяется тогда обычной формулой N!/s, где s — симметрийное число — порядок группы симметрии суперграфа. В произведении (70) содержатся, очевидно, все возможные нумерованные суперграфы, среди которых нет одинаковых, так что коэффициент при свободной диаграмме (суперграфе) определяется обычной формулой (ІДУ!) (N\/s) = l/s. Вследствие этого доказательства обеих теорем Майера (первая теорема есть утверждение о связности InZ, вторая касается вириального разложения и будет подробно обсуждаться в следующей главе) непосредственно обобщаются на системы с многочастичными силами [4?].
12 Зак. 102 177
ГЛАВА VI.
і
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА
§ 1. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
1. Введение. Теория фазовых переходов является, бесспорно, одним из интереснейших разделов статистической физики. Чтобы дать общее определение фазового перехода в рамках рассматриваемого нами формализма, необходимо привлечь введенные в § 1.10 понятия нормального и аномального решений и спонтанного нарушения симметрии, которые переносятся в евклидову теорию поля и статистическую физику без каких-либо изменений.
Фазовый переход на этом языке можно коротко определить как смену решения. На практике это выглядит следующим образом: для некоторой физической системы, рассматриваемой в широком интервале температур Т, в области T > Тс реализуется нормальное решение для функций Грина, а в области Т<ТС— аномальное решение. В критической точке T = T0 происходит смена решения — переход от нормального к аномальному. Этот переход сопровождается, как правило, спонтанным нарушением какой-нибудь симметрии, что выражается в появлении отличных от нуля функций Грина или средних значений, которые в нормальных условиях должны быть равны нулю в силу симметрии теории. Перечислим некоторые из наиболее известных фазовых переходов.
1. Сверхтекучесть. Система: квантовый бозе-газ с подходящим парным взаимодействием, отличные от нуля при
T < Тс аномальные средние — первые функции Грина ((?(-*)))
и ((ф+(х))), нарушаемая симметрия — калибровочная группа ф (х) -И^> (х) ехр /о, ф+ (х) -> ф+ (х) ехр (—/9).
2. Сверхпроводимость. Система: квантовый ферми-газ электронов с подходящим парным взаимодействием или же взаимодействующий с фононами, аномальные средние — функции
